provjera za anihilator

[Gost]

U prostoru R4 zadan je skup vektora M={(2,-1,1,1), (-1,0,-2,3), (7,-3,5,0)}. Nadite bazu za anihilator Mo od M i nadopunite je do baze za dualni prosotr od R4.
Ja sam postavio zadatak ovako.
Prvo sam dopunio bazu sa vektorom (1,0,0,0) i onda sam
2alfa1-alfa2+7alfa3+alfa4=x1
-alfa1-3alfa3=x2
alfa1-2alfa2+5alfa3=x3
alfa1+3alfa2=x4
mene samo zanima da li sam dobro postavio zadatak?? nista drugo!

[filipnet]

joj, nisam skuzio da nisam logan kad sam dao ovaj topic, sorry, people!

_________________
Everything happens with a reason!

[Gost]

Ovako kako si napisao tesko je razabrati sto namjeravas izracunati, jer uopce nisi naznacio kakvu imas ideju, a svakako se iz toga ne vidi nista o anihilatoru, zar ne?

[filipnet]

[veky]

Nije mi jasno zašto ljudi kompliciraju s tim anihilatorima preko dualnih baza... stvar je vrlo jednostavna: ako hoćemo anihilator od M:={(2,-1,1,1),(-1,0,-2,3),(7,-3,5,0)}, pogledajmo tipični funkcional koji poništava sva ta tri vektora. Ako je on zadan djelovanjem na bazi f(ei)=ai , imamo 2a1-a2+a3+a4=-a1-2a3+3a4=7a1-3a2+5a3=0 . Dobije se
a4=t , a3=s , a2=7t-3s , a1=3t-2s ; odnosno (a1..4)=t(3,7,0,1)-s(2,3,-1,0) . Dakle tipični element od M^0 je linearna kombinacija od f1 i f2 , gdje su f1(x1..4)=3x1+7x2+x4 & f2(x1..4)=2x1+3x2-x3 -- so, {f1,f2} je sustav izvodnicâ za M^0 . f1 i f2 su očito nezavisni (neproporcionalni), pa je to baza. Za nadopuniti je do baze za (|R^4)^dual , prilično je lako vidjeti da možemo dodati e3* i e4* da dobijemo sustav izvodnicâ, a znamo da je dimenzija 4 .
HTH,

[Gost]

Da. s tim sto je i ovdje, kao i na prethodnom slicnom zadatku (bio je prostor matrica reda 2), rjesavatelj propustio uociti da mu je skup M linearno zavisan pa da dopunu do baze nece uspjeti izvesti samo s jednim vektorom...

[filipnet]

[veky]

[Gost]

filipnet:
cek malo, kako to uocim da mi je skup linearno zavisan?


Ako primjenjujes metodu dopunjavanja do baze (i zatim na dualnu bazu), moras biti nacistu je li skup koji dopunjavas uopce linearno nezavisan. veky ti pokazuje i drugu metodu, super, ali bez obzira na to, za metodu s nadopunjavanjem trebas tocno znati s cim baratas i kako, ne? Kao i kod bilo kojeg drugog postupka u kojem se skup vektora nadopunjava do baze, a ima ih dosta...

[disano357]

[Gost]

To su slobodni parametri, a ima ih 2 jer je to razlika broja nepozannica (4) i ranga matrice sustava (2); to spada u rjesavanje sustava linearnih jednadzbi.

[disano357]

i onda (3,7,0,1) i (2,3,-1,0) cine bazu za anihilator? i gotov zadatak, zar ne?

[Gost]

Pazi, nije bas sasvim tako, odnosno ovisno da li to "procitas" kako treba; procitaj jos jednom vekyjev post u kojem je tocno napisano kako su funkcionali f1 i f2, koji cine bazu anihilatora, izrazeni pomocu ove dvije cetvorke

[disano357]

[Gost]

Ne treba. Evo da ti istaknem iz vekyjevog rjesenja:

Dakle tipični element od M^0 je linearna kombinacija od f1 i f2 , gdje su f1(x1..4)=3x1+7x2+x4 & f2(x1..4)=2x1+3x2-x3 -- so, {f1,f2} je sustav izvodnicâ za M^0 . f1 i f2 su očito nezavisni (neproporcionalni), pa je to baza.

Dakle, bazu cine lin.funkcionali f1 i f2 koji na opcem vektoru (x1,x2,x3,x4) djeluju tocno kao sto gore pise. (To dobro uoci kako izgleda). Nista ne treba dopunjavati, to je baza za M0, a dala bi se nadopuniti do baze cijelog V* (dualnog prostora od R4, u ovom slucaju).

[veky]

[filipnet]

[disano357]

Mene jos zanima linearno zavisan skup poput M={(2,-1,1,1), (-1,0,-2,3), (7,-3,5,0)} prepoznam tako da jedan vektor pomnozim s drugim i ako dobim treci onda je zavisan? Tako sam ja barem shvatio?

[Gost]

Bojim se da moras hitno i temeljito revidirati poimanje linearne zavisnosti i nezavisnosti, ali to se isplati jer bez toga nema linearne algebre (as we know it).

[filipnet]