dva zadatka

[Gost]

Zanima me kako bi se otprilike rijesili ovi zadaci:

1. Odredite jednadžbu ravnine u E4 koja raspolavlja kut između ravnina
PI1 ... x1+3x2-x3+7x4=5
PI2 ... x1-2x2-3x3-x4=2 .

Dobijem da se sjeku po ravnini PI3 ... 5x2+2x3+8x4=3.

2. Odredite ravninu PI (koja je podskup od A4) maksimalne dim.
koja prolazi točkom (3,-2,1,4), paralelna je s hiperravninom
PI3 ... 21x1+2x2-8x3+3x4=0
i mimoilazna s pravcem
(x1-1)/2= (x2-2)/3 = (x3+1)/(-1)= (x4-1).

Da je neka ravnina paralelna s drugom ravninom to znači da sadrži
njezin vektor smjera:
vektor smjera ravnina PI3 ... W3=( (2,-21,0,0),(0,8,2,0),(0,-3,0,2) ).
Kako dobijemo njezin "pravi" vektor smjera, kako tu zadana
mimoilaznost pomaže?

[Gost]

U 1. zadatku presjek nije hiperravnina, dakle nije zadan samo jednom jednadzbom, nego je 2-dim. ravnina. Onda se sjetimo kako se u analitickoj geometriji u 3-dim prostoru trazi simetralna ravnina.

U 2. zadatku: uzmimo hiperravninu PI3' kroz zadanu tocku, paralelnu sa zadanom PI3 (lijeva strana kao u PI3, slobodni koeficijent se izracuna uvrstavanjem tocke). Trazena PI sadrzana je u PI3', ali to nije cijela PI3' jer ova ima neprazan presjek sa zadanim pravcem. Zato se unutar PI3' trazi 2-dim. ravnina PI koja je disjunktna sa zadanim pravcem (rjesenje nije jednoznacno).

[Gost]

1. Šta se ne traži presjek tako da se npr. iz prve jedn.
jedan parametar izrazi pomocu ostalih , i onda se takav parametar uvrsti u drugu jedn.?
Po tom postupku se dobije ova jedn. ravnine PI3. Da li bi mi mogao netko opisati postupak trazenja simetralne ravnine
2.

[Gost]

Uz 1. zadatak:
Ne, ne trazi se tako presjek, susptitucija jedne nepoznanice samo je korak u rjesavanju. Npr. ako si izrazio x1 iz prve i uvrstio u drugu jednadzbu, dobijes novu jednadzbu bez x1, ali ne smijes zaboraviti uvjet x1 = ..... (sto je zapravo prva jednadzba).
Tada mozes npr. x1 i x2 izraziti pomocu x3 i x4 i to je 2-parametarsko rjesenje, a ne 3-parametarsko, koje odgovara jednoj jednadzbi s 4 nepoznanice.
Uzmi si za primjer dimenziju nize, dvije ravnine (dim. 2 u prostoru dim.3) pa ce ti biti jasnije.

Uz 2. zadatak:
Nema najvise 3 nego beskonacno mnogo rjesenja, jer osim parova od po dva vektora koje spominjes ima jos beskonacno mnogo parova sastavljenih od njihovih lin. kombinacija. Opet, uzmi si dimenziju nize za primjer i bit ce ti jasnije. Tada imas ravninu PI' kroz recimo tocku T, paralelnu sa zadanom ravninom PI, a zadani pravac p probada PI' u jednoj tocki S. Ovdje bi rjesenje bio svaki pravac u ravnini PI, koji prolazi kroz T, ali ne i kroz S, opet njih beskonacno mnogo.

[Gost]

Ispala mi je jedna oznaka ', posljednja recenica treba glasiti:

Ovdje bi rjesenje bio svaki pravac u ravnini PI', koji prolazi kroz T, ali ne i kroz S, opet njih beskonacno mnogo.

[sleeper]

Jos se pitalo za simetralnu ravninu - pa, njezin smjer je zadan s 3 vektora: vektorima koji odredjuju smjer one 2-ravnine zadane presjekom dviju 3-ravnina te vektorom n1+n2, gdje su n1, n2 jedinicni vektori normala onih dviju 3-ravnina. Dokaz nije tezak (u biti isto kao u trodim. prostoru), ali to mozda tek "po narudzbi"...

[Gost]

PUNO HVALA NA ODGOVORIMA!!!
Imam jos samo jedno pitanje, tj. zelim da mi netko potvdi ( ili ispravi ) moj odgovor. U vezi simetralne ravnine: da li je to ravnina s vektorima smjera : (5,2,1,0), (9,8,0,1), (2,-1,-4,6)

[sleeper]

Meni je smjer simetralne hiperravnine izasao zadan jednadzbom

x1 - 7x2 - 5x3 - 9x4 = 0,

dakle to bi mi bila hiperravnina paralena s trazenom, a kroz ishodiste (tj. 3-dim. potprostor). Tvoji vektori se ne uklapaju u nju (nijedan), ali mozda sam pogrijesio...

[mea]

[sleeper]

Ne znam za druge rjesavace, ali ja sam izabrao ono rjesenje koje bi trebalo odgovarati manjem kutu, buduci da se ne trazi izricito bas simetralne hiperravnine nego ravnina koja raspolavlja kut (pa se valjda uzme manji, sto mozda i nisam dobro izveo). No, svakako je vise poucno da se uoce oba rjesenja i kako se dobivaju.

[Gost]

Imam jednu zamolbu: da li bi se nekom dalo ispisati postupak za traženje simetralne ravnine?

[Gost]

Racunski, postupak je jednak onom u 3-dim. prostoru. Najprije odredis normirane (ili kako se vec zovu) jednadzbe ravnina sto znaci da se podijele s normom vektora normale; za jednu to je 2*sqrt(15), za drugu sqrt(15) pa se korijeni fino skrate i svede se na izjednacavanje apsolutne vrijednosti jedne zadane jednadzbe s 2*(apsolutna vrijednost druge jednadzbe), dakle svodi se na:

x1 + 3x2 - x3+7x4-5 = (+1 ili -1 ) * 2* (x1 - 2x2 -3x3-x4-2)

i odavde se lako dobivaju jednadzbe koje pisu u postu asistentice Mee.
To je racun, a treba i shvatiti zasto je tako. Opet savjet - pogledati kako se radi u E3.