2 zadatka vezana uz sliku,prasliku i inverz

[ricourashimen]

Pozdrav.

Ako mi netko može pomoći i riješiti ova 2 zadatka iz MA1 jer u ponedjeljak je ispit.(Rano sam se sjetio znam.. ,ali spremao sam druga poglavlja pa eto..
)
evo kako glase:
1.(6.2.02 J.Tambača)
Odredite domenu,sliku, te f([7/2-(korijeniz3)/4 ,7/2+(korijeniz2) / 4)]) i f^-1([1/2,+beskonačno>) funkcije zadane formulom f(x)=arcsin(2x-7).
Ispitajte injektivnost i surjektivnost od f, te odredite inverz ako postoji.

2. (22.4.2002) M.Vrdoljak

f:<PI/2,3PI/2>→R
zadana formulom: f(x)=cos(tgx). Odredi f([5PI/6,4PI/3>). Da li je f:<3PI/4,PI> →f(<3PI/4,PI>)(zadana gornjom formulom) ima inverz? Ako inverz postoji,izračunajte ga.

Radujem se svakoj pomoći...thnx ppl

[vjekovac]

1.
Domena su svi x koji zadovoljavaju -1⇐2x-7⇐1, tj. domena je [3,4].
Sliku dobijemo ovako: Linearna funkcija g(x)=2x-7 preslikava domenu [3,4] u [-1,1], a potom h(y)=arcsin y preslikava [-1,1] u [-pi/2,pi/2]. Dakle slika od f je [-pi/2,pi/2].

Za ovo treće primijetimo da je f strogo rastuća (i neprekidna) te da je:
f(7/2-sqrt(3)/4)=arcsin(7-sqrt(3)/2-7)=arcsin(-sqrt(3)/2)=-pi/3
f(7/2+sqrt(2)/4)=arcsin(7+sqrt(2)/2-7)=arcsin(sqrt(2)/2)=pi/4
Zato je f(<to što piše])=←pi/3,pi/4]

Za ovo četvrto rješavamo nejednadžbu
arcsin(2x-7)>=1/2
Kako je sin strogo rasuća funkcija na [-pi/2,pi/2], on ja ekvivalentna s
2x-7>=sin(1/2) (uz uvjet -1⇐2x-7⇐1)
pa je rješenje (moramo još presjeći s uvjetom tj. 3⇐x⇐4):
[(7+sin(1/2))/2 , 4].

Iz grafa (malo stisnuti i pomaknuti graf od arcsin) se "vidi" da je f injekcija, a surjekcija nije (jer joj slika nije cijeli R).
Ako kodomenu suzimo na [-pi/2,pi/2], postoji i inverzna funkcija i ona se dobije tako da se iz
arcsin(2x-7)=y izrazi x pomoću y:
x=(7+sin y)/2
Dakle f^(-1) (x)=(7+sin x)/2.

2.
tg je strogo rastuća funkcija na <pi/2,3pi/2> te
tg 5pi/6 = -1/sqrt(3)
tg 4pi/3 = sqrt(3)
Najprije tg preslikava interval [5pi/6,4pi/3> u [-1/sqrt(3),sqrt(3)>.
Sada bi trebalo skicirati graf od cos i vidjeti u što on preslikava posljednji interval.
-1/sqrt<0<sqrt(3)<pi
Zato je slika <cos(sqrt(3)),1] i je ono što smo tražili.

Ako gledamo funkciju definiranu na <3pi/4,pi> istom formulom, onda je njena slika (slično kao gore tg ga preslika u ←1,0>, onda cos u <cos(-1),1>)
f(<3pi/4,pi>)=<cos 1,1>.
Osim toga tg je na <3pi/4,pi> strogo rastuća, cos je na ←1,0> strogo rastuća pa je i f strogo rastuća, dakle injekcija je.
Inverz je
f^(-1):<cos(-1),1> → <3pi/4,pi>
f^(-1) (x) = pi/2 + arctg(-x)

[ricourashimen]

E puno ti hvala na dobrome objašnjenju...