|
Skup S je izmjeriv ako za svaki epsilon postoje poligoni p' i p'' t.d. p' podskup od S podskup od p'' i p(p'') - p(p') < epsilon.
Pretpostavimo da je skup izmjeriv. Tada uzimamo epsilone oblika 1/n.
Za svaki epsilon postoje p'' i p' t.d. p(p'') - p(p') < epsilon.
Skup povrsina upisanih poligona ima gornju medu (recimo p(p'') za epsilon = 1)=> ima spuremum = Pu(S)
Skup povrsina opisanih ima donju medu (recimo p(p') za epsilon = 1)=> ima infinum = Po(S)
0 < Po(S) - Pu(S) <= p(p'') - p(p') < epsilon = 1/n, za svaki n
pustimo n u beskonacno, po teoremu o sendvicu Po(S) - Pu(S) = 0, tj. Pu(S) = Po(S)
Obratno, ako Pu(S) = Po(S):
Uzmemo proizvoljan epsilon > 0
Pu je supremum, pa postoji p' iz U(S) t.d Pu(S) - epsilon/2 < p(p') <= Pu(S)
Po je infinum, pa postoji p'' iz O(S) t.d. Po(S) <= p(p'') < Po(S) + epsilon/2
ocito je p' podskup od S podskup od p'' (p' upisan, p'' opisan)
p(p'') - p(p') < Po(S) + epsilon/2 - Pu(S) + epsilon/2 = epsilon
( Po(S) = Pu(S))
Skup S je izmjeriv ako za svaki epsilon postoje poligoni p' i p'' t.d. p' podskup od S podskup od p'' i p(p'') - p(p') < epsilon.
Pretpostavimo da je skup izmjeriv. Tada uzimamo epsilone oblika 1/n.
Za svaki epsilon postoje p'' i p' t.d. p(p'') - p(p') < epsilon.
Skup povrsina upisanih poligona ima gornju medu (recimo p(p'') za epsilon = 1)=> ima spuremum = Pu(S)
Skup povrsina opisanih ima donju medu (recimo p(p') za epsilon = 1)=> ima infinum = Po(S)
0 < Po(S) - Pu(S) <= p(p'') - p(p') < epsilon = 1/n, za svaki n
pustimo n u beskonacno, po teoremu o sendvicu Po(S) - Pu(S) = 0, tj. Pu(S) = Po(S)
Obratno, ako Pu(S) = Po(S):
Uzmemo proizvoljan epsilon > 0
Pu je supremum, pa postoji p' iz U(S) t.d Pu(S) - epsilon/2 < p(p') <= Pu(S)
Po je infinum, pa postoji p'' iz O(S) t.d. Po(S) <= p(p'') < Po(S) + epsilon/2
ocito je p' podskup od S podskup od p'' (p' upisan, p'' opisan)
p(p'') - p(p') < Po(S) + epsilon/2 - Pu(S) + epsilon/2 = epsilon
( Po(S) = Pu(S))
_________________
Bri
|
