| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
 Postano: 17:51 uto, 23. 8. 2005 Naslov: Normalni operatori |
    |
|
|
Dva pitanja na danu temu :
1.Neka je V unitaran KDVP nad F, te A iz L(V) normalan, t.d je minimalni polinom od A u_A(x)=S1(x)^p1 * ... * Ss(x)^ps, Si mađusobno prosti i ireducibilni nad F. Tada je p1=...=ps, te V=Ker(S1(A))+...+Ker(Ss(A)) ortogonalno.
Jasan mi je dio dokaza o dekompoziciji prostora, no ovaj prvi dio ne shvaćam. Dokaz počinje ovako :
B normalan => Ker(B^k)=KerB, Ker(B*)=KerB => V=ImB + KerB (što je dokazano na VP1).
Dovoljno je vidjeti da je Im(B^k)=ImB (to se lako vidi, no za što točno služi ?).
Iz jedne prethodne propozicije imamo : V=Ker(S1(A)^p1)+...+Ker(Ss(A)^ps) i suma je direktna, te za A_j:=A restringirano na Ker(Sj(A)^pj) vrijedi u_A_j=Sj^pj (min polinom).
A_j su normalni => pj=1 za sve j. Odakle ova implikacija ?
2.Proučavamo svojstva kompleksifikacije vektorskog prostora, te imamo A iz L(V) normalan. Za l kompleksnu svojstvenu vrijednost kompleksificiranog operatora A_C vrijedi da su svojstveni potprostori (u kompleksifikaciji V_C od V) pridruženi svojstvenim vrijednostima l i kopleksno konjugirano l međusobno ortogonalni. Odakle to zaključujemo?
Hvala.
Dva pitanja na danu temu :
1.Neka je V unitaran KDVP nad F, te A iz L(V) normalan, t.d je minimalni polinom od A u_A(x)=S1(x)^p1 * ... * Ss(x)^ps, Si mađusobno prosti i ireducibilni nad F. Tada je p1=...=ps, te V=Ker(S1(A))+...+Ker(Ss(A)) ortogonalno.
Jasan mi je dio dokaza o dekompoziciji prostora, no ovaj prvi dio ne shvaćam. Dokaz počinje ovako :
B normalan => Ker(B^k)=KerB, Ker(B*)=KerB => V=ImB + KerB (što je dokazano na VP1).
Dovoljno je vidjeti da je Im(B^k)=ImB (to se lako vidi, no za što točno služi ?).
Iz jedne prethodne propozicije imamo : V=Ker(S1(A)^p1)+...+Ker(Ss(A)^ps) i suma je direktna, te za A_j:=A restringirano na Ker(Sj(A)^pj) vrijedi u_A_j=Sj^pj (min polinom).
A_j su normalni => pj=1 za sve j. Odakle ova implikacija ?
2.Proučavamo svojstva kompleksifikacije vektorskog prostora, te imamo A iz L(V) normalan. Za l kompleksnu svojstvenu vrijednost kompleksificiranog operatora A_C vrijedi da su svojstveni potprostori (u kompleksifikaciji V_C od V) pridruženi svojstvenim vrijednostima l i kopleksno konjugirano l međusobno ortogonalni. Odakle to zaključujemo?
Hvala.
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: 
|
| Postano: 20:35 uto, 23. 8. 2005 Naslov: Re: Normalni operatori |
|
|
|
[quote="Boris Davidovič"]1.Neka je V unitaran KDVP nad F, te A iz L(V) normalan, t.d je minimalni polinom od A u_A(x)=S1(x)^p1 * ... * Ss(x)^ps, Si međusobno prosti i ireducibilni nad F. Tada je [b]p1=...=ps=1[/b], te V=Ker(S1(A))+...+Ker(Ss(A)) [b](ortogonalna suma)[/b].[/quote]
Zanemarimo načas one tvrdnje za B.
[quote="Boris Davidovič"]
Iz jedne prethodne propozicije imamo : V=Ker(S1(A)^p1)+...+Ker(Ss(A)^ps) i suma je direktna, te za A_j:=A restringirano na Ker(Sj(A)^pj) vrijedi u_A_j=Sj^pj (min polinom).
A_j su normalni => pj=1 za sve j. Odakle ova implikacija ?[/quote]
Evo ovako:
Najprije primijetimo da je operator Sj(A) normalan. To odmah slijedi iz normalnosti od A. Provjeri se direktno jer je Sj(A)* oblika neki polinom u operatoru A* (nije baš polinom Sj jer mu se koeficijenti konjugiraju) pa on komutira s polinomom u operatoru A, operatorom Sj(A).
Sada se sjetimo da za normalni operator B i k€N vrijedi Ker(B^k)=KerB.
Specijalno za B=Sj(A) i k=pj imamo Ker(Sj(A)^pj)=Ker(Sj(A)).
Operator A_j je bio dobiven induciranjem (tj. restikcijom domene i kodomene) operatora A upravo na potprostor Ker(Sj(A)^pj)=Ker(Sj(A)).
Za svaki vektor v iz tog potprostora vrijedi Sj(A)v=[b]0[/b] pa je Sj(A_j)v=[b]0[/b] za svaki v iz domene od Sj(A_j) (što je isti taj potprostor), tj. Sj(A_j)=[b]O[/b].
2.Proučavamo svojstva kompleksifikacije vektorskog prostora, te imamo A iz L(V) normalan. Za l kompleksnu svojstvenu vrijednost kompleksificiranog operatora A_C vrijedi da su svojstveni potprostori (u kompleksifikaciji V_C od V) pridruženi svojstvenim vrijednostima l i kopleksno konjugirano l međusobno ortogonalni. Odakle to zaključujemo?
Sada se sjetimo da je Sj^pj minimalni polinom od A_j, a maloprije smo vidjeli da operator A_j poništava i polinom Sj. To je moguće samo za pj=1 (jer polinom Sj mora biti djeljiv polinomom Sj^pj pa mora imati veći stupanj od njega).
Dakle, p1=...=ps=1.
Treba još dokazati i da je suma ortogonalna (ne samo direktna).
Tamo se koriste neke od preostalih spomenutih tvrdnji za B.
| Boris Davidovič (napisa): | | 1.Neka je V unitaran KDVP nad F, te A iz L(V) normalan, t.d je minimalni polinom od A u_A(x)=S1(x)^p1 * ... * Ss(x)^ps, Si međusobno prosti i ireducibilni nad F. Tada je p1=...=ps=1, te V=Ker(S1(A))+...+Ker(Ss(A)) (ortogonalna suma). |
Zanemarimo načas one tvrdnje za B.
| Boris Davidovič (napisa): |
Iz jedne prethodne propozicije imamo : V=Ker(S1(A)^p1)+...+Ker(Ss(A)^ps) i suma je direktna, te za A_j:=A restringirano na Ker(Sj(A)^pj) vrijedi u_A_j=Sj^pj (min polinom).
A_j su normalni ⇒ pj=1 za sve j. Odakle ova implikacija ? |
Evo ovako:
Najprije primijetimo da je operator Sj(A) normalan. To odmah slijedi iz normalnosti od A. Provjeri se direktno jer je Sj(A)* oblika neki polinom u operatoru A* (nije baš polinom Sj jer mu se koeficijenti konjugiraju) pa on komutira s polinomom u operatoru A, operatorom Sj(A).
Sada se sjetimo da za normalni operator B i k€N vrijedi Ker(B^k)=KerB.
Specijalno za B=Sj(A) i k=pj imamo Ker(Sj(A)^pj)=Ker(Sj(A)).
Operator A_j je bio dobiven induciranjem (tj. restikcijom domene i kodomene) operatora A upravo na potprostor Ker(Sj(A)^pj)=Ker(Sj(A)).
Za svaki vektor v iz tog potprostora vrijedi Sj(A)v=0 pa je Sj(A_j)v=0 za svaki v iz domene od Sj(A_j) (što je isti taj potprostor), tj. Sj(A_j)=O.
2.Proučavamo svojstva kompleksifikacije vektorskog prostora, te imamo A iz L(V) normalan. Za l kompleksnu svojstvenu vrijednost kompleksificiranog operatora A_C vrijedi da su svojstveni potprostori (u kompleksifikaciji V_C od V) pridruženi svojstvenim vrijednostima l i kopleksno konjugirano l međusobno ortogonalni. Odakle to zaključujemo?
Sada se sjetimo da je Sj^pj minimalni polinom od A_j, a maloprije smo vidjeli da operator A_j poništava i polinom Sj. To je moguće samo za pj=1 (jer polinom Sj mora biti djeljiv polinomom Sj^pj pa mora imati veći stupanj od njega).
Dakle, p1=...=ps=1.
Treba još dokazati i da je suma ortogonalna (ne samo direktna).
Tamo se koriste neke od preostalih spomenutih tvrdnji za B.
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
| Postano: 20:47 uto, 23. 8. 2005 Naslov: Re: Normalni operatori |
|
|
|
[quote="Boris Davidovič"]2.Proučavamo svojstva kompleksifikacije vektorskog prostora, te imamo A iz L(V) normalan. Za l kompleksnu svojstvenu vrijednost kompleksificiranog operatora A_C vrijedi da su svojstveni potprostori (u kompleksifikaciji V_C od V) pridruženi svojstvenim vrijednostima l i kopleksno konjugirano l međusobno ortogonalni. Odakle to zaključujemo?[/quote]
Naprosto to vrijedi za [u]svaki[/u] normalni operator.
Operator A_C je normalan, a l i l konj. su njegove dvije različite svojstvene vrijednosti (osim kada je l€R, ali smatramo da nije).
Za svaki normalni operator vrijedi da su mu svojstveni potprostori međusobno ortogonalni, čak štoviše (na kompleksnom v.p.) u ortogonalnoj sumi daju cijeli prostor. (Ovo je poznata činjenica, odnosno specijalni slučaj teorema iz pitanja 1.)
| Boris Davidovič (napisa): | | 2.Proučavamo svojstva kompleksifikacije vektorskog prostora, te imamo A iz L(V) normalan. Za l kompleksnu svojstvenu vrijednost kompleksificiranog operatora A_C vrijedi da su svojstveni potprostori (u kompleksifikaciji V_C od V) pridruženi svojstvenim vrijednostima l i kopleksno konjugirano l međusobno ortogonalni. Odakle to zaključujemo? |
Naprosto to vrijedi za svaki normalni operator.
Operator A_C je normalan, a l i l konj. su njegove dvije različite svojstvene vrijednosti (osim kada je l€R, ali smatramo da nije).
Za svaki normalni operator vrijedi da su mu svojstveni potprostori međusobno ortogonalni, čak štoviše (na kompleksnom v.p.) u ortogonalnoj sumi daju cijeli prostor. (Ovo je poznata činjenica, odnosno specijalni slučaj teorema iz pitanja 1.)
|
|
| [Vrh] |
|
|
