Vrijedi li ovo?

[KKK]

Ako pričamo o simetričnim blok-dizajnima, vrijedi li činjenica da ako imamo 3 bloka presjek 1.&2. te presjek 2.&3. nužno su različiti. Ako da zašto da?

[Gost]

Ako sam dobro shvatio pitanje: ne, ne moraju biti različiti presjeci. Već npr. za projektivnu ravninu (lambda =1), tri bloka (pravca) kroz jednu točku imaju i u parovima kao presjek tu istu zajedničku točku. Ako treći blok ne prolazi kroz sjecište prva dva, onda su sva tri sjecišta različita (jednostavno "trokut", tj. trovrh).
Općenito, za (v,k,l) simetrični dizajn, kroz dvije točke prolazi l blokova i svaka dva od tih blokova imaju te dvije točke zajedničke te još po l-2 zajedničke točke. Za l=2 to su onda i jedine zajedničke točke.
No, ako uzmemo npr. 3 bloka sa samo jednom zajedničkom točkom, a l=2, presjeci u parovima bit će različiti.

Uzmimo recimo (11,5,2) realiziran tako da su točke ostaci mod 11, dakle {0,1,...,10} i osnovni blok je {1,3,4,5,9}, a ostali se dobivaju dodavanjem 1 (mod 11).
Prva dva bloka imaju zajedničke točke 4 i 5, a treći blok {3,5,6,7,0} siječe prvog u 3 i 5, a drugog u 5 i 6. To su onda tri različita presjeka.
Ako nisam dobro shvatio poantu pitanja, možeš malo detaljnije postaviti?

[KKK]

Morat ću dakle bit malo jasniji. Do tog problema sam došao rješavajući zadatak koji je bio da dokažemo da derivirani dizajn simetričnog dizajna je blok dizajn i još je trebalo odrediti njegove parametre.
Broj vrhova je očit te isto tako i veličina svakog bloka. Međutim, kad se pitam u koliko se blokova nalaze svake dvije točke dolazim do dotičnog problema.
Moje razmišljanje ide ovako nekako: u početnom dizajnu svake 2 točke su se nalazile u lambda blokova, pa posebno i svake 2 točke iz bloka(*) koji generira derivirani dizajn su se nalazile u lambda blokova. Jedan od tih blokova je sam taj blok(*) pa ih ostane lambda-1. To je rjesenje(piše u knjizi), ali mi nije jasno zašto ne mogu postojati C,D iz BB t.d.
B(*)#C#D#B(*) i C$B(*)=D$B(*)#praznog_skupa
Također, postoji i uvjet: lambda>=2.

BB=skup blokova
$=presjek
#=različito

[Gost]

Ako sad bolje shvaćam - pitanje je zapravo da li u deriviranom dizajnu može biti "ponavljanja" blokova. Da, može i to za lambda > 2. (Za lambda = 2 očito su parovi točaka na jednom bloku u bijekciji s ostalim blokovima). Za lambda > 2 moguće je da npr. dva različita bloka C i D sijeku blok B (na kojem se derivira) u istoj trojki točaka tako da se ta trojka pojavljuje dvaput kao blok u deriviranom dizajnu. Npr. projektivni prostor dim. 3 nad poljem GF(2) je simetrični (15,7,3) dizajn, blokovi su zapravo projektivne ravnine nad GF(2) tj. (7,3,1) dizajni. Po tri ravnine sijeku se u jednom pravcu (koji ima 3 točke) pa deriviranje u jednom bloku od (15,7,3) daje dvije kopije (7,3,1) i to je onda taj derivirani (7,3,2) dizajn.

[KKK]

Smetnuo sam s uma da je u blok dizajnu (X,A) A kolekcija podskupava, tj. multiskup, a ne skup skupova.
Hvala

[Gost]

Mislim da nipošto nema razloga za smajlija koji se crveni. Pitanje je na mjestu i nije banalno, a pogotovo što se često kaže kako se dizajni s ponavljanjem blokova neće previše uzimati u obzir.