Ideali u Z[i]

[EnigmaQ]

Unaprijed se ispricavam moderatu, jer ova tema nije bas primjerena vektorskim prostorima nego algebri tocnije algebarskim strukturama, no posto ne postoji nesto sto se tako zove na ovom forumu a ni Pretraznik nije pomogao... Ako postoji neko pametnije mjesto za ovaj thread budem ga premjestio.

Imam problem: Zadan je I_1=(11-2i, 25+25i) ideal u Z[i]. Posto je Z[i] Euklidska domena pa je stoga i domena glavnih ideala postoji glavni ideal (a+bi)=I_1. E sad u dokazu tog teorema koristi se cinjenica da postoji a+bi iz Z[i] sa najmanjim delta (delta) je funkcija iz definicije Euklidskog prstena itd. Mene zanima kako naci generator od I_1, koristi li se postupak iz dokaza tog teorema i ako se koristi kako naci najmanji takav.
Ono sto sam probao je to da sam probao vidjeti da li je 1 u I_1 no izgleda da nije ako sam dobro sve izmnozio. Onda sam pokusao pokazati da je 11-2i u (25+25i) i obratno no i to cini se nije. Kako dalje?

I jos jedno pitanje: pronaci I_1 presjek I_2 gdje je I_2=(1+8i,7+16i).

_________________
Koliko treba muhi da pojede Zirafu u Africi?
5 dana, Stari moj! 5 dana!

[duje]

Ne znam jesu li oznake iste kao u skripti iz Uvoda u teoriju brojeva, ali mislim da dokaz teorema 8.9 (dio za d=-1) moze biti od koristi. Radi se isto kao kod obicnog Euklidovog algoritma, s kvocijentom koji je definiran tako da se brojevi "obicno podijele", pa im se realni i imaginarni dijelovi zaokruze na najblizi cijeli broj. Dobije se I_1=(3+4i).
Za I_2 dobije se I_2=(2+i), pa jer je (2+i)^2=3+4i, ispadne da je I_1 podskup od I_2. Nadam se da nisam pogrijesio u racunu.

[EnigmaQ]

Ok to stima hvala na odgovoru.

Samo sto sam ja izracunao za I_1=(-3-4i) hm N(-3-4i)=N(3+4i) i -3-4i je u (3+4i) i obratno pa su valjda asocirani, to stima ali kako sam dobio drugaciji razultat ako smo koristili isti postupak? Ili sam ja nesto krivo napravio...

Dakle:

25+25i = (11-2i)(2+3i) + (r + si) povlaci da je r + si = -3-4i

dalje postupak pokazuje da je iduci ostatak 0 itd.

slicno i za I_2..

_________________
Koliko treba muhi da pojede Zirafu u Africi?
5 dana, Stari moj! 5 dana!

[duje]

Dobar je vam je i postupak i rezultat. A ja sam (tocno, ali nepotrebno) rezultat (-3-4i) napisao u obliku (3+4i), sto je naravno isti ideal.