| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
pefri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 02. 2005. (22:34:29)
Postovi: (20)16
|
 Postano: 15:04 ned, 15. 1. 2006 Naslov: Neprekidnost |
    |
|
|
Još samo dva zadatka koja ne kužim: :)
[b]Neka je (x_n) niz funkcija x_n:[0,1]-R definiran sa:
x_n(t) = 4 n^2 t , 0<=t<=1/2n
-4 n^2 t + 4n , 1/2n<=t<=1/n
0 , 1/n<=t<=1
Pokažite da niz (x_n) konvergira po točkama prema x_0(t)=0, t € [0,1].[/b]
Trebamo pokazati da za svaki t € [0,1] niz brojeva (x_n(t)) konvergira prema 0. Fiksiram n_0.
Za t=0 x_n(t)=0 za svaki n € N pa je lim x_n(t) =0
Za 1/n<=t<=1 Za svaki n>=n_0 1/n<=1/n_0<=t<=1 lim x_n(t)=0.
Kako dalje... Help!
[b](x_n) proizvoljan niz, (y_n) C-niz u metričkom prostoru (X,d) te neka vrijedi: d(x_n, y_n)<1/n n€N. Dokaži (x_n) je C-niz u X.[/b]
(y_n) je C-niz pa za svaki e>0 postoji n_0 t.d. za svaki m,n>=n_0 d(y_m, y_n)<e-2/n
Da bi (x_n) bio C-niz za svaki e>0 postojao n_0 t.d. za svaki m,n>=n_0
d(x_m, x_n)<= d(x_m, y_m) + d(y_m, y_n) + d(y_n, x_n). Kako dalje?
Još samo dva zadatka koja ne kužim: 
Neka je (x_n) niz funkcija x_n:[0,1]-R definiran sa:
x_n(t) = 4 n^2 t , 0⇐t⇐1/2n
-4 n^2 t + 4n , 1/2n⇐t⇐1/n
0 , 1/n⇐t⇐1
Pokažite da niz (x_n) konvergira po točkama prema x_0(t)=0, t € [0,1].
Trebamo pokazati da za svaki t € [0,1] niz brojeva (x_n(t)) konvergira prema 0. Fiksiram n_0.
Za t=0 x_n(t)=0 za svaki n € N pa je lim x_n(t) =0
Za 1/n⇐t⇐1 Za svaki n>=n_0 1/n⇐1/n_0⇐t⇐1 lim x_n(t)=0.
Kako dalje... Help!
(x_n) proizvoljan niz, (y_n) C-niz u metričkom prostoru (X,d) te neka vrijedi: d(x_n, y_n)<1/n n€N. Dokaži (x_n) je C-niz u X.
(y_n) je C-niz pa za svaki e>0 postoji n_0 t.d. za svaki m,n>=n_0 d(y_m, y_n)<e-2/n
Da bi (x_n) bio C-niz za svaki e>0 postojao n_0 t.d. za svaki m,n>=n_0
d(x_m, x_n)⇐ d(x_m, y_m) + d(y_m, y_n) + d(y_n, x_n). Kako dalje?
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
| Postano: 17:03 ned, 15. 1. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote]Neka je (x_n) niz funkcija x_n:[0,1]-R definiran sa:
x_n(t) = 4 n^2 t , 0<=t<=1/2n
-4 n^2 t + 4n , 1/2n<=t<=1/n
0 , 1/n<=t<=1
Pokažite da niz (x_n) konvergira po točkama prema x_0(t)=0, t € [0,1].
[/quote]
Nemoj fiksirati n. Fiksiraj t. Za neku tocku t, niz x_n(t) je za prvih nekoliko clanova 4 n^2 t (dok n ne postane veci od 1/(2t)), zatim je nekoliko clanova jednak -4 n^2 t + 4n (dok n ne postane veci od 1/t), a nakon toga je naprosto 0. Dakle, postaje stacionarni niz pa specijalno konvergira u 0.
Za razlicite t ce nakon razlicitog broja nenul elemenata niza postati 0, ali za konvergenciju po tockama te to ne brine. Samo te brine da bas za svaki t niz x_n(t) konv u 0...
| Citat: | Neka je (x_n) niz funkcija x_n:[0,1]-R definiran sa:
x_n(t) = 4 n^2 t , 0⇐t⇐1/2n
-4 n^2 t + 4n , 1/2n⇐t⇐1/n
0 , 1/n⇐t⇐1
Pokažite da niz (x_n) konvergira po točkama prema x_0(t)=0, t € [0,1].
|
Nemoj fiksirati n. Fiksiraj t. Za neku tocku t, niz x_n(t) je za prvih nekoliko clanova 4 n^2 t (dok n ne postane veci od 1/(2t)), zatim je nekoliko clanova jednak -4 n^2 t + 4n (dok n ne postane veci od 1/t), a nakon toga je naprosto 0. Dakle, postaje stacionarni niz pa specijalno konvergira u 0.
Za razlicite t ce nakon razlicitog broja nenul elemenata niza postati 0, ali za konvergenciju po tockama te to ne brine. Samo te brine da bas za svaki t niz x_n(t) konv u 0...
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
| Postano: 17:08 ned, 15. 1. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote](x_n) proizvoljan niz, (y_n) C-niz u metričkom prostoru (X,d) te neka vrijedi: d(x_n, y_n)<1/n n€N. Dokaži (x_n) je C-niz u X.
[/quote]
Neka je e>0 proizvoljan. Jer je y_n C-niz, postoji n_1 td. za m,n>=n_1 vrijedi d(y_m,y_n)<e/3. Nadalje, jer niz 1/n konv u 0, postoji n_2 td n>=n_2 povlaci 1/n<e/3. Sad za n_0 uzmes max{n_1,n_2}, pa za m,n>=n_0 vrijedi d(x_n,x_m)<=d(x_n,y_n)+d(y_n,y_m)+d(y_m,x_m)<=1/n+d(y_n,y_m)+1/m<=e/3+e/3+e/3=e.
| Citat: | (x_n) proizvoljan niz, (y_n) C-niz u metričkom prostoru (X,d) te neka vrijedi: d(x_n, y_n)<1/n n€N. Dokaži (x_n) je C-niz u X.
|
Neka je e>0 proizvoljan. Jer je y_n C-niz, postoji n_1 td. za m,n>=n_1 vrijedi d(y_m,y_n)<e/3. Nadalje, jer niz 1/n konv u 0, postoji n_2 td n>=n_2 povlaci 1/n<e/3. Sad za n_0 uzmes max{n_1,n_2}, pa za m,n>=n_0 vrijedi d(x_n,x_m)⇐d(x_n,y_n)+d(y_n,y_m)+d(y_m,x_m)⇐1/n+d(y_n,y_m)+1/m⇐e/3+e/3+e/3=e.
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
| [Vrh] |
|
pefri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 02. 2005. (22:34:29)
Postovi: (20)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
