| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
pefri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 02. 2005. (22:34:29)
Postovi: (20)16
|
 Postano: 11:47 ned, 15. 1. 2006 Naslov: Topologija - pitanje |
    |
|
|
Trebala bih pomoć oko ovih pitanja iz topoloških prostora! :shock: :shock:
[b]Da li NSOMP da je svaka okolina neke točke zapravo otvoren skup?
Da li ako u topološkom prostoru ne postoje dva zatvorena disjunktna skupa slijedi da je on trivijalno T4-prostor?[/b]
Zadatak:
[b]X = <0,beskon.> \ N i A={<0,1/n> U <n,n+1>; n€N}. Dokažite da je A podbaza. Da li je (X,t) T0-prostor? Da li je T4-prostor?[/b]
X je neprazan skup i dovoljno je da pokažem da je A pokrivač od X da je ona podbaza jedinstvene topologije t na X.
UA = <0,1> U <1,2> U <0, 1/2> U <2,3>,... = U<n,n+1> U <0,1> = <0, beskon.>\N = X
T0-prostor?
Neka je x=3/2 i y=6/5 slijedi da su x,y € <0,1> U <1,2>€ t i u kojem god otvorenom skupu se nalazi x, nalazi se i y pa (X,t) nije T0-prostor. Da li je dobro objašnjenje?
T4-prostor?
Tražimo zatvorene skupove: (<0,1> U <1,2>)^c=<2,beskon>\N
Moj zaključak je kako je X beskonačan skup neće ni postojati disjunktni zatvoreni skupovi....
[b]Dokažite da je svaki regularan Haussdorffov prostor.[/b]
Prema T1 svaki jednočlan skup je zatvoren.
{x} zatvoren
y nije element {x}
x, y proizvoljni i različiti. Prema T3 slijedi da postoji V okolina od y i U okolina od {x} t.d. U presjek V = prazan skup. Kako je x € U slijedi U je okolina od x pa je dokazano. Da li je dobar zaključak?
Trebala bih pomoć oko ovih pitanja iz topoloških prostora! 
Da li NSOMP da je svaka okolina neke točke zapravo otvoren skup?
Da li ako u topološkom prostoru ne postoje dva zatvorena disjunktna skupa slijedi da je on trivijalno T4-prostor?
Zadatak:
X = <0,beskon.> \ N i A={<0,1/n> U <n,n+1>; n€N}. Dokažite da je A podbaza. Da li je (X,t) T0-prostor? Da li je T4-prostor?
X je neprazan skup i dovoljno je da pokažem da je A pokrivač od X da je ona podbaza jedinstvene topologije t na X.
UA = <0,1> U <1,2> U <0, 1/2> U <2,3>,... = U<n,n+1> U <0,1> = <0, beskon.>\N = X
T0-prostor?
Neka je x=3/2 i y=6/5 slijedi da su x,y € <0,1> U <1,2>€ t i u kojem god otvorenom skupu se nalazi x, nalazi se i y pa (X,t) nije T0-prostor. Da li je dobro objašnjenje?
T4-prostor?
Tražimo zatvorene skupove: (<0,1> U <1,2>)^c=<2,beskon>\N
Moj zaključak je kako je X beskonačan skup neće ni postojati disjunktni zatvoreni skupovi....
Dokažite da je svaki regularan Haussdorffov prostor.
Prema T1 svaki jednočlan skup je zatvoren.
{x} zatvoren
y nije element {x}
x, y proizvoljni i različiti. Prema T3 slijedi da postoji V okolina od y i U okolina od {x} t.d. U presjek V = prazan skup. Kako je x € U slijedi U je okolina od x pa je dokazano. Da li je dobar zaključak?
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
| Postano: 17:40 ned, 15. 1. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote]Da li NSOMP da je svaka okolina neke točke zapravo otvoren skup?
[/quote]
[color=indigo]Okolina neke tocke je bilo koji otvoren skup koji sadrzi tu tocku. Dakle, ne moras cak ni BSOMPat, to su sinonimi.[/color]
[quote]Da li ako u topološkom prostoru ne postoje dva zatvorena disjunktna skupa slijedi da je on trivijalno T4-prostor?
[/quote]
[color=indigo]Da.[/color]
[quote]X = <0,beskon.> \ N i A={<0,1/n> U <n,n+1>; n€N}. Dokažite da je A podbaza. Da li je (X,t) T0-prostor? Da li je T4-prostor? [/quote]
[color=indigo]Dokaz za podbazu ti je dobar. Za T_0 isto. Za T_4 nije, jer ne gledas dovoljno skupova....
Gledamo od pocetka. Podbaza je onaj A. Bazu iz toga dobijemo tako da gledamo sve moguce presjeke elemenata iz A. Kad presjecem dva elemenata iz A recimo onaj odreden s n i onaj s m, za npr.m<n, dobijem skup <0,1/m> (m je manji). Sad lako vidis da daljnjim presijecanjem ne dobivas nista novo. Baza topologije je dakle AU{<0,1/m>,m>1}.
Svi otvoreni skupovi u X su bilo kakve unije tih elemenata, a ne samo oni elementi podbaze. Kad gledas koje sve skupove mozes dobiti na taj nacin, uocis da su svi oni oblika <0,1/n> U nekoliko (moze i beskonacno) intervala <m,m+1> (n moze biti i 1). Komplementi tih skupova su skupovi oblika [1/n,1> U preostali intervali <m,m+1> (ako je n 1, onda je prvi od njih prazan). Dakle, postoji jedan nacin da dobijes dva takva zatvorena skupa koji su disjunktni: uzmes jedan od njih oblika B=[1/n,1> U nekoliko intervala <m_b,m_b+1>, a drugi oblika C="nekoliko intervala <m_c,m_c+1>", i to tako da su ovi intervali disjunktni. E sad, otvorena okolina prvog je npr. <0,1>U svi intervali <m_b,m_b+1>, a drugog on sam (C), i one su disjunktne. Dakle, to je T_4...
[/color]
| Citat: | Da li NSOMP da je svaka okolina neke točke zapravo otvoren skup?
|
Okolina neke tocke je bilo koji otvoren skup koji sadrzi tu tocku. Dakle, ne moras cak ni BSOMPat, to su sinonimi.
| Citat: | Da li ako u topološkom prostoru ne postoje dva zatvorena disjunktna skupa slijedi da je on trivijalno T4-prostor?
|
Da.
| Citat: | | X = <0,beskon.> \ N i A={<0,1/n> U <n,n+1>; n€N}. Dokažite da je A podbaza. Da li je (X,t) T0-prostor? Da li je T4-prostor? |
Dokaz za podbazu ti je dobar. Za T_0 isto. Za T_4 nije, jer ne gledas dovoljno skupova....
Gledamo od pocetka. Podbaza je onaj A. Bazu iz toga dobijemo tako da gledamo sve moguce presjeke elemenata iz A. Kad presjecem dva elemenata iz A recimo onaj odreden s n i onaj s m, za npr.m<n, dobijem skup <0,1/m> (m je manji). Sad lako vidis da daljnjim presijecanjem ne dobivas nista novo. Baza topologije je dakle AU{<0,1/m>,m>1}.
Svi otvoreni skupovi u X su bilo kakve unije tih elemenata, a ne samo oni elementi podbaze. Kad gledas koje sve skupove mozes dobiti na taj nacin, uocis da su svi oni oblika <0,1/n> U nekoliko (moze i beskonacno) intervala <m,m+1> (n moze biti i 1). Komplementi tih skupova su skupovi oblika [1/n,1> U preostali intervali <m,m+1> (ako je n 1, onda je prvi od njih prazan). Dakle, postoji jedan nacin da dobijes dva takva zatvorena skupa koji su disjunktni: uzmes jedan od njih oblika B=[1/n,1> U nekoliko intervala <m_b,m_b+1>, a drugi oblika C="nekoliko intervala <m_c,m_c+1>", i to tako da su ovi intervali disjunktni. E sad, otvorena okolina prvog je npr. <0,1>U svi intervali <m_b,m_b+1>, a drugog on sam (C), i one su disjunktne. Dakle, to je T_4...
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
| [Vrh] |
|
pefri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 02. 2005. (22:34:29)
Postovi: (20)16
|
| Postano: 13:49 pon, 16. 1. 2006 Naslov: |
|
|
|
Puno hvala Martini na odgovorima! :D
[quote="Martinab"]
[color=indigo] Kad presjecem dva elemenata iz A recimo onaj odreden s n i onaj s m, za npr.m<n, dobijem skup <0,1/m> (m je manji).[/color][/quote]
Pa zar ako je m<n slijedi da je <0, 1/n> presjek <0,1/m> = <0,1/m>? :roll: Zar nije spretnije ovako:
Ako je podbaza topologije {<0,1/n> U <n,n+1>} konačnim presjecima elemenata iz podbaze dobijemo bazu {<0,1/n> U <n,n+1>} n € N. Topologija je onda proizvoljna unija elemenata iz baze: {<0,1/n> U (nekoliko ili beskonačno mnogo intervala) <n,n+1>}.
Dva zatvorena disjuntna skupa su [4.2, 4.6] i [4.7, 5.2]. Pa je okolina od [4.2, 4.6] interval <0,1/4> U <4, 5>, a okolina od [4.7, 5.2] je interval <0,1/4> U <4, 5> U <5, 6>. Zaključujem da za svaka dva disjunktna zatvorena skupa ne postoje njihove disjunktne okoline pa [b]nije T4[/b]
Puno hvala Martini na odgovorima! 
| Martinab (napisa): |
Kad presjecem dva elemenata iz A recimo onaj odreden s n i onaj s m, za npr.m<n, dobijem skup <0,1/m> (m je manji). |
Pa zar ako je m<n slijedi da je <0, 1/n> presjek <0,1/m> = <0,1/m>?  Zar nije spretnije ovako:
Ako je podbaza topologije {<0,1/n> U <n,n+1>} konačnim presjecima elemenata iz podbaze dobijemo bazu {<0,1/n> U <n,n+1>} n € N. Topologija je onda proizvoljna unija elemenata iz baze: {<0,1/n> U (nekoliko ili beskonačno mnogo intervala) <n,n+1>}.
Dva zatvorena disjuntna skupa su [4.2, 4.6] i [4.7, 5.2]. Pa je okolina od [4.2, 4.6] interval <0,1/4> U <4, 5>, a okolina od [4.7, 5.2] je interval <0,1/4> U <4, 5> U <5, 6>. Zaključujem da za svaka dva disjunktna zatvorena skupa ne postoje njihove disjunktne okoline pa nije T4
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
| Postano: 14:15 pon, 16. 1. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote]Pa zar ako je m<n slijedi da je <0, 1/n> presjek <0,1/m> = <0,1/m>? [/quote]
[color=indigo]No... Obratno... Znas sto mislim (mea culpa, bolila me glava jucer, dobijes <0,1/n> :) )[/color]
[quote]konačnim presjecima elemenata iz podbaze dobijemo bazu {<0,1/n> U <n,n+1>} n € N[/quote]
[color=indigo]NE. To ti upravo kazem. Baza su ti svi ti, i jos elementi <0,1/n>, za n>1, koje dobijes onakvim presjecima. [/color]
[quote]Dva zatvorena disjuntna skupa su [4.2, 4.6] i [4.7, 5.2][/quote]
[color=indigo]NE. To su zatvoreni skupovi u R sa klasicnom topologijom. U X sa ovom topologijom, kao sto si ti gore napisala kod dokaza da nije T_0, svaki otvoreni skup koji sadrzi 4.2 sadrzi i 4.1. Zato i svaki zatvoreni skup koji sadrzi 4.2 sadrzi i 4.1. Zato ti tvoj skup [4.2, 4.6] ovdje nije zatvoren (ni otvoren)...
Sto se topologije tice, ovaj dio <1,2>U<2,3>U<3,4>U... ti se ponasa kao diskretna topologija na skupu 1,2,3,... Jedino sto te sprecava da ovu topologiju gledas kao skoro diskretnu je ovaj dio na <0,1>. [/color]
| Citat: | | Pa zar ako je m<n slijedi da je <0, 1/n> presjek <0,1/m> = <0,1/m>? |
No... Obratno... Znas sto mislim (mea culpa, bolila me glava jucer, dobijes <0,1/n>  )
| Citat: | | konačnim presjecima elemenata iz podbaze dobijemo bazu {<0,1/n> U <n,n+1>} n € N |
NE. To ti upravo kazem. Baza su ti svi ti, i jos elementi <0,1/n>, za n>1, koje dobijes onakvim presjecima.
| Citat: | | Dva zatvorena disjuntna skupa su [4.2, 4.6] i [4.7, 5.2] |
NE. To su zatvoreni skupovi u R sa klasicnom topologijom. U X sa ovom topologijom, kao sto si ti gore napisala kod dokaza da nije T_0, svaki otvoreni skup koji sadrzi 4.2 sadrzi i 4.1. Zato i svaki zatvoreni skup koji sadrzi 4.2 sadrzi i 4.1. Zato ti tvoj skup [4.2, 4.6] ovdje nije zatvoren (ni otvoren)...
Sto se topologije tice, ovaj dio <1,2>U<2,3>U<3,4>U... ti se ponasa kao diskretna topologija na skupu 1,2,3,... Jedino sto te sprecava da ovu topologiju gledas kao skoro diskretnu je ovaj dio na <0,1>.
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
| [Vrh] |
|
KKK
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 05. 2005. (14:48:19)
Postovi: (4D)16
|
| Postano: 13:13 pon, 11. 9. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="Martinab"]Dakle, postoji jedan nacin da dobijes dva takva zatvorena skupa koji su disjunktni: uzmes jedan od njih oblika B=[1/n,1> U nekoliko intervala <m_b,m_b+1>, a drugi oblika C="nekoliko intervala <m_c,m_c+1>", i to tako da su ovi intervali disjunktni. E sad, otvorena okolina prvog je npr. <0,1>U svi intervali <m_b,m_b+1>, a[b] drugog on sam (C)[/b], i one su disjunktne. Dakle, to je T_4...
[/quote]
Ovo podebljano mi nije baš jasno: kako je je unija tih <m_c,m_c+1> intervala otvorena okolina ako je baza topolgije:
[quote="Martinab"]AU{<0,1/m>,m>1}.[/quote]
| Martinab (napisa): | Dakle, postoji jedan nacin da dobijes dva takva zatvorena skupa koji su disjunktni: uzmes jedan od njih oblika B=[1/n,1> U nekoliko intervala <m_b,m_b+1>, a drugi oblika C="nekoliko intervala <m_c,m_c+1>", i to tako da su ovi intervali disjunktni. E sad, otvorena okolina prvog je npr. <0,1>U svi intervali <m_b,m_b+1>, a drugog on sam (C), i one su disjunktne. Dakle, to je T_4...
|
Ovo podebljano mi nije baš jasno: kako je je unija tih <m_c,m_c+1> intervala otvorena okolina ako je baza topolgije:
| Martinab (napisa): | | AU{<0,1/m>,m>1}. |
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
| Postano: 13:22 pon, 11. 9. 2006 Naslov: |
|
|
|
Skupovi oblika <n, n+1> su i otvoreni i zatvoreni. Oni su u A, pa su otvoreni, ali se mogu napisati i kao komplement otvorenog skupa koji se dobije kao unija svih <m,m+1> za m=0,1,2,... i m razlicito od n.
Skupovi oblika <n, n+1> su i otvoreni i zatvoreni. Oni su u A, pa su otvoreni, ali se mogu napisati i kao komplement otvorenog skupa koji se dobije kao unija svih <m,m+1> za m=0,1,2,... i m razlicito od n.
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
| [Vrh] |
|
KKK
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 05. 2005. (14:48:19)
Postovi: (4D)16
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
| Postano: 0:44 pet, 23. 2. 2007 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]na R imamo topologiju T u kojoj je podskup U otvoren akko je on ili prazan ili citav R ili otvorena zraka (-oo,r) za realni broj r. (R,T) nije metrizabilan jer ne postoje disjunktni skupovi U i V t.d. je 0 iz U i 1 iz V.
(str35 u skripti)
da li bi mi netko mogao malo objasniti zasto mozemo zakljuciti da (R,T) nije metrizabilan ako ne postoje takva 2 disjunktna skupa?
stalno se vrtim u krug...
unaprijed hvala[/quote]
Svaki metrizabilan prostor je Hausdorffov, što znači da svake dvije različite točke možete separirati disjunktnim otvorenim skupovima. To se lako vidi, jer ako je udaljenost (u nekoj metrici koja inducira danu topologiju) te dvije točke jednaka [latex]\varepsilon>0[/latex] onda za te otvorene skupove možete uzeti otv. kugle s centrom u danim točkama radijusa [latex]\frac{\varepsilon}{2}[/latex]. Kao što ste i rekli, nulu i jedinicu ne možete separirati otv. skupovima, pa gornji top. prostor nije Hausdorffov, pa ne može biti ni metrizabilan.
| Anonymous (napisa): | na R imamo topologiju T u kojoj je podskup U otvoren akko je on ili prazan ili citav R ili otvorena zraka (-oo,r) za realni broj r. (R,T) nije metrizabilan jer ne postoje disjunktni skupovi U i V t.d. je 0 iz U i 1 iz V.
(str35 u skripti)
da li bi mi netko mogao malo objasniti zasto mozemo zakljuciti da (R,T) nije metrizabilan ako ne postoje takva 2 disjunktna skupa?
stalno se vrtim u krug...
unaprijed hvala |
Svaki metrizabilan prostor je Hausdorffov, što znači da svake dvije različite točke možete separirati disjunktnim otvorenim skupovima. To se lako vidi, jer ako je udaljenost (u nekoj metrici koja inducira danu topologiju) te dvije točke jednaka  onda za te otvorene skupove možete uzeti otv. kugle s centrom u danim točkama radijusa  . Kao što ste i rekli, nulu i jedinicu ne možete separirati otv. skupovima, pa gornji top. prostor nije Hausdorffov, pa ne može biti ni metrizabilan.
|
|
| [Vrh] |
|
|
