Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
vjekovac Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55) Postovi: (2DB)16
Spol:
|
Postano: 16:31 čet, 5. 1. 2006 Naslov: |
|
|
[quote="mare"]3. zadatak sa infimumima i supremumima[/quote]
Ovo sve što pišeš u principu jest rješenje (barem dobra ideja za rješenje), eventualno bi ga trebalo malo formalnije zapisati.
Npr. nakon što smo naučili nešto o limesima možemo rješenje napisati ovako:
Supstituirajmo [latex]q=\frac{m}{n}[/latex]. U mnogim zadacima je to glavna ideja pa je iskoristimo i ovdje makar da malo pojednostavimo izraz.
Primijetimo da [latex]3n<2m[/latex] možemo pisati [latex]\frac{m}{n}>\frac{3}{2}[/latex], tj. [latex]q>\frac{3}{2}[/latex] .
Sada je zapravo:
[latex]\displaystyle S=\left\{1-\frac{9(q-2)^2}{(2q-3)^3} \,:\, q\in\mathbb{Q}^+, q>\frac{3}{2}\right\}[/latex]
Primijetimo da je u razlomku brojnik >=0, a nazivnik >0 (zbog q>3/2) pa je [latex]1-\frac{9(q-2)^2}{(2q-3)^3}\leq 1[/latex], tj. broj 1 je gornja međa skupa S.
Nadalje, za q=2 je izraz baš jednak 1 pa je [latex]1\in S[/latex]. Slijedi da je sup S=1, čak štoviše max S=1.
Uzmimo neki niz [latex](q_n)_{n\in\mathbb{N}}[/latex] čiji svi članovi su racionalni brojevi >3/2 i koji konvergira prema 3/2.
Tada za svaki [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] vrijedi
[latex]\displaystyle 1-\frac{9(q_n-2)^2}{(2q_n-3)^3}\in S[/latex]
i još je
[latex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{9(q_n-2)^2}{(2q_n-3)^3}\right)=1-\frac{9/4}{0_+}=-\infty[/latex]
Dakle, u skupu S postoji niz koji konvergira u -oo pa S ne može biti omeđen odozdo, tj. možemo pisati inf S=-oo.
--------------------------------
Općenita napomena kako nam limesi mogu koristiti kod računanja infimuma/supremuma:
Ako je broj [latex]a\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\}[/latex] donja međa skupa S te ako postoji niz [latex](s_n)_{n\in\mathbb{N}}[/latex] čiji svi elementi su iz skupa S i takav da je [latex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=a[/latex], onda je broj a infimum skupa S, tj. inf S=a.
Ako je broj [latex]b\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}[/latex] gornja međa skupa S te ako postoji niz [latex](s_n)_{n\in\mathbb{N}}[/latex] čiji svi elementi su iz skupa S i takav da je [latex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=b[/latex], onda je broj b supremum skupa S, tj. sup S=b.
Naravno, vrijede i obrati tih tvrdnji. (Ako je a infimum skupa S, onda...)
mare (napisa): | 3. zadatak sa infimumima i supremumima |
Ovo sve što pišeš u principu jest rješenje (barem dobra ideja za rješenje), eventualno bi ga trebalo malo formalnije zapisati.
Npr. nakon što smo naučili nešto o limesima možemo rješenje napisati ovako:
Supstituirajmo . U mnogim zadacima je to glavna ideja pa je iskoristimo i ovdje makar da malo pojednostavimo izraz.
Primijetimo da možemo pisati , tj. .
Sada je zapravo:
Primijetimo da je u razlomku brojnik >=0, a nazivnik >0 (zbog q>3/2) pa je , tj. broj 1 je gornja međa skupa S.
Nadalje, za q=2 je izraz baš jednak 1 pa je . Slijedi da je sup S=1, čak štoviše max S=1.
Uzmimo neki niz čiji svi članovi su racionalni brojevi >3/2 i koji konvergira prema 3/2.
Tada za svaki vrijedi
i još je
Dakle, u skupu S postoji niz koji konvergira u -oo pa S ne može biti omeđen odozdo, tj. možemo pisati inf S=-oo.
--------------------------------
Općenita napomena kako nam limesi mogu koristiti kod računanja infimuma/supremuma:
Ako je broj donja međa skupa S te ako postoji niz čiji svi elementi su iz skupa S i takav da je , onda je broj a infimum skupa S, tj. inf S=a.
Ako je broj gornja međa skupa S te ako postoji niz čiji svi elementi su iz skupa S i takav da je , onda je broj b supremum skupa S, tj. sup S=b.
Naravno, vrijede i obrati tih tvrdnji. (Ako je a infimum skupa S, onda...)
|
|
[Vrh] |
|
Ilja Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31) Postovi: (1AF)16
|
Postano: 17:10 čet, 5. 1. 2006 Naslov: |
|
|
da, ovo što je vjekovac napisao je uvijek koristan put rješavanja,
no ja bi drugi dio zadatka ovako rješio:
Za [latex]k \in \mathbb{N}[/latex] stavimo [latex]n_k =2k+1[/latex] i
[latex]m_k =3k+2[/latex]. Tada je očito [latex]2m_k>3n_k[/latex] za sve [latex]k \in \mathbb{N}[/latex], jer je [latex]2m_k-3n_k=1[/latex].
Promotrimo podskup [latex]S' \subseteq S[/latex] zadanog sa
[latex]S' :=\bigg\{ 1- \frac{9n_k(m_k-2n_k)^2}{(2m_k-3n_k)^3}: \ k \in \mathbb{N}\bigg\}=\big\{ 1- (18k+9)k^2 : \ k \in \mathbb{N}\big\}[/latex].
Kako je [latex](18k+9)k^2=18k^3+9k^2 \geq 18k+9k=27k>k+1, \ \forall k \in \mathbb{N}[/latex],
to je [latex]1-(18k+9)k^2 < -k, \forall k \in \mathbb{N}[/latex],
iz čega slijedi da je [latex]S'[/latex] neomeđen odozdo, pa je specijalno i [latex]S[/latex] neomeđen odozdo.
To je ekvivalentno onome što je vjekovac napisao, no meni osobno je (zbog nekih razloga :) ) takve zadatke draže rješiti bez upotrebe limesa (što ne znači da ih ne smijete koristiti :D ).
da, ovo što je vjekovac napisao je uvijek koristan put rješavanja,
no ja bi drugi dio zadatka ovako rješio:
Za stavimo i
. Tada je očito za sve , jer je .
Promotrimo podskup zadanog sa
.
Kako je ,
to je ,
iz čega slijedi da je neomeđen odozdo, pa je specijalno i neomeđen odozdo.
To je ekvivalentno onome što je vjekovac napisao, no meni osobno je (zbog nekih razloga ) takve zadatke draže rješiti bez upotrebe limesa (što ne znači da ih ne smijete koristiti ).
Zadnja promjena: Ilja; 17:30 čet, 5. 1. 2006; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
[Vrh] |
|
mare Gost
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
aska Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 11. 2005. (20:01:50) Postovi: (5B)16
|
Postano: 20:41 pet, 13. 1. 2006 Naslov: |
|
|
[quote="Anonymous"]Moze pomoc za drugi zadatak.Rjesavao sam na slican nacin kao na vjezbama ali ne uspijeva mi.[/quote]
Ev ovako:
Prva stvar, za n = 1 i n = -1, onaj prvi dio (najvece cijelo) je 2 (jer je (7/3)^1 = 7/3, a za sve ostale n-ove je 1 (jer je n-ti korijen iz neceg sto je ≥ 1 uvijek ≥ 1; a vec za n=2 najvece cijelo od toga je 1).
Sad,nemres to rastaviti na produkt dva skupa (najvece cijelo * razlomak) jer su medjusobno zavisni. Pa ja preporucam da izracunas vrijednosti za n=1 i n=-1 (a to ispada 5/3 i ½).
Ostaje ti (nˆ2 – 2n – 4)/ (nˆ2-n-6) za sve ostale n-ove (osim za -2,0,3 koji su iskljuceni) :wink:
To napises kao 1- (n-2)/( nˆ2-n-6) i sad malo promatras izraz (n-2)/( nˆ2-n-6).
Sad to rastavis na uniju 2 niza; za pozitivne n-ove opci clan niza glasi (n-2)/( nˆ2-n-6).
Dokazujes monotonost,sto se svodi na to da usporedis n-ti i (n+1). clan. Pa imas nesto sto glasi (pretpostavis da je npr. rastuci):
(n-2)/( nˆ2-n-6)≤ (n+1-2)/( (n+1)ˆ2 - (n+1) - 6)
Kad to sve lijepo izracunas i pokratis ,dobijes nˆ2-3n+6≤0, sto je kvadratna jednadzba s D‹0 i a>0,sto znaci da je okrenuta prema gore,nema nultocki i uvijek ima poz. vrijednosti,pa ne moze nikad biti ≤0. Dakle,tvoj niz je strogo padajuci.
Sad istu stvar napravis za negativni dio;odnosno u opci clan je (-n-2)/( nˆ2+n-6) /pazi,n je iz N; a ne iz Z- /.
Opet ces dokazivat monotonost,pretpostavka da je rastuci ce te dovest do slicne nebuloze,sto znaci da su oba niza strogo padajuca na cijelom podrucju definicije.
Sad bi vec mogao i graf nacrtati :wink: ( znas da je strogo padajuce,sto znaci da je kompozicija s 1-x strogo rastuca,nultocku, asimptote i mozes lako saznat gdje je pozitivan,gdje negativan);dakle, pomocu transformacija grafa mozes jednostavno doc do grafa 1- (n-2)/( nˆ2-n-6)
A onda bi bas mogao i sam zavrsiti... :D
Ako nesto svejedno nije jasno,pitaj :wink:
Anonymous (napisa): | Moze pomoc za drugi zadatak.Rjesavao sam na slican nacin kao na vjezbama ali ne uspijeva mi. |
Ev ovako:
Prva stvar, za n = 1 i n = -1, onaj prvi dio (najvece cijelo) je 2 (jer je (7/3)^1 = 7/3, a za sve ostale n-ove je 1 (jer je n-ti korijen iz neceg sto je ≥ 1 uvijek ≥ 1; a vec za n=2 najvece cijelo od toga je 1).
Sad,nemres to rastaviti na produkt dva skupa (najvece cijelo * razlomak) jer su medjusobno zavisni. Pa ja preporucam da izracunas vrijednosti za n=1 i n=-1 (a to ispada 5/3 i ½).
Ostaje ti (nˆ2 – 2n – 4)/ (nˆ2-n-6) za sve ostale n-ove (osim za -2,0,3 koji su iskljuceni)
To napises kao 1- (n-2)/( nˆ2-n-6) i sad malo promatras izraz (n-2)/( nˆ2-n-6).
Sad to rastavis na uniju 2 niza; za pozitivne n-ove opci clan niza glasi (n-2)/( nˆ2-n-6).
Dokazujes monotonost,sto se svodi na to da usporedis n-ti i (n+1). clan. Pa imas nesto sto glasi (pretpostavis da je npr. rastuci):
(n-2)/( nˆ2-n-6)≤ (n+1-2)/( (n+1)ˆ2 - (n+1) - 6)
Kad to sve lijepo izracunas i pokratis ,dobijes nˆ2-3n+6≤0, sto je kvadratna jednadzba s D‹0 i a>0,sto znaci da je okrenuta prema gore,nema nultocki i uvijek ima poz. vrijednosti,pa ne moze nikad biti ≤0. Dakle,tvoj niz je strogo padajuci.
Sad istu stvar napravis za negativni dio;odnosno u opci clan je (-n-2)/( nˆ2+n-6) /pazi,n je iz N; a ne iz Z- /.
Opet ces dokazivat monotonost,pretpostavka da je rastuci ce te dovest do slicne nebuloze,sto znaci da su oba niza strogo padajuca na cijelom podrucju definicije.
Sad bi vec mogao i graf nacrtati ( znas da je strogo padajuce,sto znaci da je kompozicija s 1-x strogo rastuca,nultocku, asimptote i mozes lako saznat gdje je pozitivan,gdje negativan);dakle, pomocu transformacija grafa mozes jednostavno doc do grafa 1- (n-2)/( nˆ2-n-6)
A onda bi bas mogao i sam zavrsiti...
Ako nesto svejedno nije jasno,pitaj
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
Ilja Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31) Postovi: (1AF)16
|
Postano: 18:44 uto, 17. 1. 2006 Naslov: |
|
|
[quote="Anonymous"]Na koji nacin se moze pokazati u 4. zadatku da inf je 0 0dnosno da je sup=1.Jasno mi je da ce najvece cijelo bit ili jedank korijenu iz n(ako se radi o cijelom broju) ili manje s razlikom manje od 1,samo kako to pokazat?Hvala[/quote]
Dokažimo da je [latex]\inf S=\min S= 0 [/latex].
To slijedi iz nejednakosti [latex]\lfloor x \rfloor \leq x, \ \forall x \in \mathbb{R}[/latex], pa je specijalno
[latex]\sqrt{n}-\lfloor \sqrt{n} \rfloor \geq 0, \ \forall n \in \mathbb{N}[/latex], tj. [latex]0[/latex] je donja međa za [latex]S[/latex]. No [latex]0 \in S[/latex], npr. za [latex]n=1[/latex], pa je zaista riječ o minimumu.
Dokažimo da je [latex]\sup S=1[/latex].
Prvo primijetimo da je [latex]1[/latex] zaista gornja međa za [latex]S[/latex], jer je [latex]\lfloor x \rfloor +1 > x, \ \forall x \in \mathbb{R}[/latex], pa je specijalno i [latex]\sqrt{n}-\lfloor \sqrt{n} \rfloor < 1, \forall n \in \mathbb{N}[/latex].
Sada za [latex]n \in \mathbb{N}[/latex] stavimo [latex]k_n:=n^2+2n[/latex]. Kako je [latex]n^2 < n^2+2n < n^2+2n+1=(n+1)^2, \ \forall n \in \mathbb{N}[/latex], to je i [latex]n < \sqrt{n^2+2n} < n+1, \ \forall n \in \mathbb{N}[/latex], pa je [latex]\lfloor \sqrt{k_n}\rfloor=n, \ \forall n \in \mathbb{N}[/latex].
Zato je [latex]\sqrt{k_n} - \lfloor \sqrt{k_n}\rfloor=\sqrt{n^2+2n}-n, \ \forall n \in \mathbb{N}[/latex].
No budući je [latex]\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{n^2+2n}-n) =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{\sqrt{1+2/n}+1}=\frac{2}{1+1}=1[/latex], to za dano [latex]\varepsilon >0[/latex] postoji [latex]n_\varepsilon \in \mathbb{N}[/latex] takav da za sve [latex]n \geq n_\varepsilon \ (n \in \mathbb{N}) [/latex] vrijedi [latex]1-k_n=|1-k_n| < \varepsilon[/latex]. Specijalno za taj [latex]n_\varepsilon[/latex] vrijedi [latex]1- \varepsilon < k_{n_\varepsilon}[/latex], pa smo time upravo pokazali da je [latex]\sup S=1[/latex].
(ovdje sam ipak prešao na limes(e) (umjesto da sam radio ocjene) zato što ih ionako smijete koristiti u ovakvim zadacima, a i zato što je brže za napisati. :D )
Anonymous (napisa): | Na koji nacin se moze pokazati u 4. zadatku da inf je 0 0dnosno da je sup=1.Jasno mi je da ce najvece cijelo bit ili jedank korijenu iz n(ako se radi o cijelom broju) ili manje s razlikom manje od 1,samo kako to pokazat?Hvala |
Dokažimo da je .
To slijedi iz nejednakosti , pa je specijalno
, tj. je donja međa za . No , npr. za , pa je zaista riječ o minimumu.
Dokažimo da je .
Prvo primijetimo da je zaista gornja međa za , jer je , pa je specijalno i .
Sada za stavimo . Kako je , to je i , pa je .
Zato je .
No budući je , to za dano postoji takav da za sve vrijedi . Specijalno za taj vrijedi , pa smo time upravo pokazali da je .
(ovdje sam ipak prešao na limes(e) (umjesto da sam radio ocjene) zato što ih ionako smijete koristiti u ovakvim zadacima, a i zato što je brže za napisati. )
Zadnja promjena: Ilja; 11:04 sri, 18. 1. 2006; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
[Vrh] |
|
kus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 12. 2005. (12:33:18) Postovi: (4F)16
Spol:
Lokacija: Poso, kuća birtija
|
|
[Vrh] |
|
aska Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 11. 2005. (20:01:50) Postovi: (5B)16
|
|
[Vrh] |
|
nana Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 11. 2005. (12:24:35) Postovi: (2AD)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
crnka Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 01. 2007. (20:03:59) Postovi: (31)16
|
|
[Vrh] |
|
matmih Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 12. 2006. (22:57:42) Postovi: (1A4)16
Spol:
Lokacija: {Zg, De , Ri}
|
|
[Vrh] |
|
crnka Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 01. 2007. (20:03:59) Postovi: (31)16
|
|
[Vrh] |
|
matmih Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 12. 2006. (22:57:42) Postovi: (1A4)16
Spol:
Lokacija: {Zg, De , Ri}
|
|
[Vrh] |
|
linus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 11. 2011. (16:59:13) Postovi: (46)16
Lokacija: subnet mask
|
|
[Vrh] |
|
hendrix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 09. 2012. (15:59:06) Postovi: (92)16
|
|
[Vrh] |
|
linus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 11. 2011. (16:59:13) Postovi: (46)16
Lokacija: subnet mask
|
Postano: 11:27 ned, 6. 1. 2013 Naslov: |
|
|
Jos me zanima, kod zadataka tipa [latex]S=\{\frac{(n+m)^2}{2^{mn}}:m,n\epsilon N \}[/latex], gdje treba naslutiti rjesenje, a onda ga dokazati npr indukcijom, je li svejedno hocemo li fiksirati m ili n?
Ako napravimo npr [b]indukciju po m[/b], sa n=1, vrijedi li to za cijeli zadatak ili moramo jos jednu indukciju za fiksirani m, pa po n?
EDIT: tnx na odg
da, za strogo padajucu je obrnuto onda: sup(f(a))=f(infA)
Jos me zanima, kod zadataka tipa , gdje treba naslutiti rjesenje, a onda ga dokazati npr indukcijom, je li svejedno hocemo li fiksirati m ili n?
Ako napravimo npr indukciju po m, sa n=1, vrijedi li to za cijeli zadatak ili moramo jos jednu indukciju za fiksirani m, pa po n?
EDIT: tnx na odg
da, za strogo padajucu je obrnuto onda: sup(f(a))=f(infA)
|
|
[Vrh] |
|
hendrix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 09. 2012. (15:59:06) Postovi: (92)16
|
|
[Vrh] |
|
maaarija Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2014. (19:56:21) Postovi: (1)16
|
|
[Vrh] |
|
pbakic Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30) Postovi: (143)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|