|
[quote="Anonymous"]Može li mi molim vas netko rješiti ovaj zadatak s roka 18.04.2005.:
Dana je funkcija f:R^n\{0}->R takva da je f diferencijabilna na R^n\{0},
neprekidna na R^n i lim(Q->0)parcijalno od f po i (Q)=0 (i=1,..,n).
Da li je funkcija f diferencijabilna u ishodištu? Odgovor obrazložite.[/quote]
Hm. Može. Evo budem ja.
Moj konačan odgovor je DA.
Znači, dovoljo je pokazati da sve parcijalne derivacije u 0 postoje i da su jednake 0, jer će onda slijediti da su one neprekidne u točki 0, pa će f biti diferencijabilna u 0 (zapravo, tu koristim jedan od teorema iz knjige prof. Ungara). :D
Neka je najprije [latex]t>0[/latex]. Koristeći Lagrangeov tm o srednjoj vrijednosti, dobivamo da je
[latex]\frac{ f(te_i)-f(0)}{t}=\partial_{e_i}f(\xi_t), \ \xi_t \in [0,te_i][/latex], pa kad pustimo da [latex]t \rightarrow 0^+[/latex], onda i [latex]\xi_t \rightarrow 0^+[/latex], pa iz pretpostavke [latex]\lim_{Q \rightarrow 0}\partial_{e_i}f(Q)=0[/latex] slijedi [latex]\lim_{t \rightarrow 0^+}\partial_{e_i}f(\xi_t)=0[/latex]. Analogno ćemo dobiti i da je [latex]\lim_{t \rightarrow 0^-}\partial_{e_i}f(\xi_t)=0[/latex], pa je onda i [latex]\lim_{t \rightarrow 0}\partial_{e_i}f(\xi_t)=0[/latex]. I na kraju imamo [latex]\partial_{e_i}f(0)=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{ f(te_i)-f(0)}{t}=\lim_{t \rightarrow 0}\partial_{e_i}f(\xi_t)=0[/latex], za sve [latex]1\leq i \leq n[/latex].
I to bi bilo to, nadam se da sam pomogao.
Srdačan pozdrav,
dr. Exodus :croatia:
| Anonymous (napisa): | Može li mi molim vas netko rješiti ovaj zadatak s roka 18.04.2005.:
Dana je funkcija f:R^n\{0}→R takva da je f diferencijabilna na R^n\{0},
neprekidna na R^n i lim(Q→0)parcijalno od f po i (Q)=0 (i=1,..,n).
Da li je funkcija f diferencijabilna u ishodištu? Odgovor obrazložite. |
Hm. Može. Evo budem ja.
Moj konačan odgovor je DA.
Znači, dovoljo je pokazati da sve parcijalne derivacije u 0 postoje i da su jednake 0, jer će onda slijediti da su one neprekidne u točki 0, pa će f biti diferencijabilna u 0 (zapravo, tu koristim jedan od teorema iz knjige prof. Ungara). 
Neka je najprije  . Koristeći Lagrangeov tm o srednjoj vrijednosti, dobivamo da je
 , pa kad pustimo da  , onda i  , pa iz pretpostavke  slijedi  . Analogno ćemo dobiti i da je  , pa je onda i  . I na kraju imamo  , za sve  .
I to bi bilo to, nadam se da sam pomogao.
Srdačan pozdrav,
dr. Exodus 
|
