Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zajednicka normala mimosmjernih pravaca?

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Euklidski prostori
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
apezic
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 10. 2005. (15:43:48)
Postovi: (19)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 1 - 2

PostPostano: 11:26 sub, 18. 2. 2006    Naslov: Zajednicka normala mimosmjernih pravaca? Citirajte i odgovorite

Treba mi pomoc oko dokaza da ta normala postoji, tj oko njene egzistencije, pa ako netko ima ideju...:)hvala
Treba mi pomoc oko dokaza da ta normala postoji, tj oko njene egzistencije, pa ako netko ima ideju...:)hvala


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
pecina
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23)
Postovi: (157)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
62 = 85 - 23
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!

PostPostano: 11:46 sub, 18. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nisam siguran ali probaj ovako. Uzmeš ravninu [latex]\pi^2[/latex] koja prolazi prvim pravcem i paralelna je s drugim. Za tu [latex]\pi^2[/latex] uzmes da sadrži prvi pravac a smjer joj je [latex]\omega_{1}+\omega_{2}[/latex]. Sada je drugi pravac paralelean sa tom [latex]\pi^2[/latex]. Sad sigurno postoji vektor AB takava da je A iz prvog pravca a B iz drugog pravca i da ja AB okomit na oba pravca je ako ne postoji tada su ravnine parelelne što znači da je konstrukcija [latex]\pi^2[/latex] ravnine bila kriva, bla, bla.

P.S. Pozdravi andreja. Pitaj ga kad ćemo na biljar :D
Nisam siguran ali probaj ovako. Uzmeš ravninu koja prolazi prvim pravcem i paralelna je s drugim. Za tu uzmes da sadrži prvi pravac a smjer joj je . Sada je drugi pravac paralelean sa tom . Sad sigurno postoji vektor AB takava da je A iz prvog pravca a B iz drugog pravca i da ja AB okomit na oba pravca je ako ne postoji tada su ravnine parelelne što znači da je konstrukcija ravnine bila kriva, bla, bla.

P.S. Pozdravi andreja. Pitaj ga kad ćemo na biljar Very Happy



_________________
-- space available for rent --
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
apezic
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 10. 2005. (15:43:48)
Postovi: (19)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 1 - 2

PostPostano: 12:25 sub, 18. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

zanima me kako zakljucis ovo zadnje?sto ako ne postoji AB...?

P.S.ispitni su rokovi :)
zanima me kako zakljucis ovo zadnje?sto ako ne postoji AB...?

P.S.ispitni su rokovi Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
pecina
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23)
Postovi: (157)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
62 = 85 - 23
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!

PostPostano: 12:47 sub, 18. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

Mora postojati zbog ortogonalnosti ravnina. Za svake [latex]\pi^k[/latex] ravninu postoji ravnina [latex]\pi^(n-k)[/latex] takva da su okomite i da vrijedi [latex]\omega^{k}+\omega^{n+k}=E^n[/latex].

I sad uzmeš smjer od te druge i pokažeš da mora vrijediti da postoji točka [latex]Q_0[/latex] na pravcu (onom prvom kroz koji konstruiraš ravninu) takva da ravnina u točki [latex]Q_0[/latex] sa smjerom [latex]\omega^(n-k)[/latex] siječe drugi pravac u točki [latex]P_0[/latex]. Vektor [latex]Q_0\P_0[/latex] je traženi vektor.

Ili gledano laički, moraš pokazati da su pravci paraleleni (trivijalni slučaj) ili da nisu. Ako nisu, tada projekcija pravca [latex]\pi_2[/latex] na 2-ravninu određenu pravcem [latex]\pi_1[/latex] i smjerom [latex]\omega_2[/latex] siječe pravac [latex]\pi_1[/latex] u jednoj točki = A. U toj točki digneš okomiti pravac koji siječe pravac [latex]\pi_2[/latex] u točki B. AB je traženi vektor.

P.S. Jel to ti govoriš za njega ili on sam ne želi :wink:
Mora postojati zbog ortogonalnosti ravnina. Za svake ravninu postoji ravnina takva da su okomite i da vrijedi .

I sad uzmeš smjer od te druge i pokažeš da mora vrijediti da postoji točka na pravcu (onom prvom kroz koji konstruiraš ravninu) takva da ravnina u točki sa smjerom siječe drugi pravac u točki . Vektor je traženi vektor.

Ili gledano laički, moraš pokazati da su pravci paraleleni (trivijalni slučaj) ili da nisu. Ako nisu, tada projekcija pravca na 2-ravninu određenu pravcem i smjerom siječe pravac u jednoj točki = A. U toj točki digneš okomiti pravac koji siječe pravac u točki B. AB je traženi vektor.

P.S. Jel to ti govoriš za njega ili on sam ne želi Wink



_________________
-- space available for rent --
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Unnamed One
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 06. 2005. (22:09:33)
Postovi: (3C)16
Sarma = la pohva - posuda
11 = 11 - 0

PostPostano: 17:32 sub, 18. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

Evo još jedne verzije: Neka prvi pravac ima vektor smjera (a1,a2,...,an), a drugi (b1,b2,...,bn). Prvo riješimo sustav

a1*c1+a2*c2+...+an*cn=0
b1*c1+b2*c2+...+an*cn=0.

Pravci nisu paralelni pa smo dobili (n-2) parametarsko rješenje, tj. vektori koji su rješenja sustava generiraju (n-2) dimenzionalni vektorski prostor W. Očito je svaki vektor koji zadovoljava gornji sustav okomit na 1. pravac i na 2. pravac. Definiramo dvije hiperravnine, prva neka ima smjer W+[a1,a2,...,an] i prolazi nekom točkom prvog pravca, a druga smjer W+[b1,b2,...,bn] i prolazi nekom točkom drugog pravca. Prva hiperravnina siječe drugi pravac (jer nitko nije mimosmjeran s hiperravninom), a druga hiperravnina sadrži sve točke drugog pravca pa postoji neka točka s drugog pravca koja je u presjeku te dvije hiperravnine. Analogno se zaključi da postoji neka točka s prvog pravca koja je u presjeku te dvije hiperravnine pa je i pravac određen tim dvjema točkama u presjeku te dvije hiperravnine (jer je presjek ravnina ravnina). Taj pravac je u presjeku tih dvaju ravnina pa mu je vektor smjera iz W što znači da je okomit i na prvi i na drugi pravac.
Evo još jedne verzije: Neka prvi pravac ima vektor smjera (a1,a2,...,an), a drugi (b1,b2,...,bn). Prvo riješimo sustav

a1*c1+a2*c2+...+an*cn=0
b1*c1+b2*c2+...+an*cn=0.

Pravci nisu paralelni pa smo dobili (n-2) parametarsko rješenje, tj. vektori koji su rješenja sustava generiraju (n-2) dimenzionalni vektorski prostor W. Očito je svaki vektor koji zadovoljava gornji sustav okomit na 1. pravac i na 2. pravac. Definiramo dvije hiperravnine, prva neka ima smjer W+[a1,a2,...,an] i prolazi nekom točkom prvog pravca, a druga smjer W+[b1,b2,...,bn] i prolazi nekom točkom drugog pravca. Prva hiperravnina siječe drugi pravac (jer nitko nije mimosmjeran s hiperravninom), a druga hiperravnina sadrži sve točke drugog pravca pa postoji neka točka s drugog pravca koja je u presjeku te dvije hiperravnine. Analogno se zaključi da postoji neka točka s prvog pravca koja je u presjeku te dvije hiperravnine pa je i pravac određen tim dvjema točkama u presjeku te dvije hiperravnine (jer je presjek ravnina ravnina). Taj pravac je u presjeku tih dvaju ravnina pa mu je vektor smjera iz W što znači da je okomit i na prvi i na drugi pravac.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
LSSD
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 19. 01. 2005. (19:11:16)
Postovi: (CB)16
Sarma = la pohva - posuda
16 = 19 - 3
Lokacija: SD CN

PostPostano: 20:41 sub, 18. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

Mislim da je zadnje objasnjenje najbolje:) hvala:)
A imam jos jedno pitanje. Kako se dokazuje indukcijom da je n simpleks odredjen sa n+1 tockom sadrzan u svakom konveksnom skupu koji sadrzi te tocke? pretpostavi se da tvrdnja vrijedi za svaki k simpleks, pa sad treba pokazati da vrijedi za k+1 simpleks...?
Mislim da je zadnje objasnjenje najbolje:) hvala:)
A imam jos jedno pitanje. Kako se dokazuje indukcijom da je n simpleks odredjen sa n+1 tockom sadrzan u svakom konveksnom skupu koji sadrzi te tocke? pretpostavi se da tvrdnja vrijedi za svaki k simpleks, pa sad treba pokazati da vrijedi za k+1 simpleks...?



_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Unnamed One
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 06. 2005. (22:09:33)
Postovi: (3C)16
Sarma = la pohva - posuda
11 = 11 - 0

PostPostano: 12:14 ned, 19. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

Dokaz indukcijom:
pretpostavka: simpleks S(n)=Conv{A1,...,An}<=Conv(Pn) za svaki Pn koji sadži A1,...An.

korak: uzme se simpleks S(n+1)=Conv{A1,...,An,A(n+1)}. Neka je P(n+1) neki skup koji sadrži A1,...,A(n+1), i definiramo Pn := P(n+1) / A(n+1)

S(n+1)=Conv{A1,...,An,A(n+1)}<=/*ovdje koristimo pretpostavku*/<=Conv{Pn,A(n+1)}=Conv{Pn U A(n+1)}=Conv{P(n+1)}

('<=' predstavlja inkluziju)

Dokaz bez indukcije:
Simpleks je konveksna ljuska n+1 nezavisne točke. Ako taj neki drugi konveksni skup koji sadrži tih n+1 točaka označim sa S onda je svih tih n+1 točaka sadržano u S pa je i njihova konveksna ljuska sadržana u konveksnoj ljusci od S. Njihova konveksna ljuska je simpleks, a konveksna ljuska od S je S (jer je S konveksan).


Pitanje: Zašto bi tu tvrdnju pokušavali dokazati indukcijom kad smo korak mogli provesti i bez korištenja pretpostavke?
Dokaz indukcijom:
pretpostavka: simpleks S(n)=Conv{A1,...,An}<=Conv(Pn) za svaki Pn koji sadži A1,...An.

korak: uzme se simpleks S(n+1)=Conv{A1,...,An,A(n+1)}. Neka je P(n+1) neki skup koji sadrži A1,...,A(n+1), i definiramo Pn := P(n+1) / A(n+1)

S(n+1)=Conv{A1,...,An,A(n+1)}<=/*ovdje koristimo pretpostavku*/<=Conv{Pn,A(n+1)}=Conv{Pn U A(n+1)}=Conv{P(n+1)}

('<=' predstavlja inkluziju)

Dokaz bez indukcije:
Simpleks je konveksna ljuska n+1 nezavisne točke. Ako taj neki drugi konveksni skup koji sadrži tih n+1 točaka označim sa S onda je svih tih n+1 točaka sadržano u S pa je i njihova konveksna ljuska sadržana u konveksnoj ljusci od S. Njihova konveksna ljuska je simpleks, a konveksna ljuska od S je S (jer je S konveksan).


Pitanje: Zašto bi tu tvrdnju pokušavali dokazati indukcijom kad smo korak mogli provesti i bez korištenja pretpostavke?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
apezic
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 10. 2005. (15:43:48)
Postovi: (19)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 1 - 2

PostPostano: 14:23 ned, 19. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

Kada dokazujemo bez indukcije onda u zakljucku koristi se argument da je konveksna ljuska tokaca simpleks, ali to tek trebamo dokazati. Isto i u dokazu indukcije, zar mi prvo ne trebamo dokazati da je simpleks, ali definiran kao skup svih tocaka za koje vrijedi...,sadrzan kao takav u svakom konveksnom skupu koji sadrzi te tocke, jer je svakako istina da Conv{A(0),...,A(n)} jeste sadrzana u svakom konveksnom skupu koji sadrzi te tocke?
I jos jedno pitanje:)kada kazemo da je simpleks presjek n+1 zatvorenog poluprostora, kako mi dodjeo do tih hiperavnina?[/code]
Kada dokazujemo bez indukcije onda u zakljucku koristi se argument da je konveksna ljuska tokaca simpleks, ali to tek trebamo dokazati. Isto i u dokazu indukcije, zar mi prvo ne trebamo dokazati da je simpleks, ali definiran kao skup svih tocaka za koje vrijedi...,sadrzan kao takav u svakom konveksnom skupu koji sadrzi te tocke, jer je svakako istina da Conv{A(0),...,A(n)} jeste sadrzana u svakom konveksnom skupu koji sadrzi te tocke?
I jos jedno pitanje:)kada kazemo da je simpleks presjek n+1 zatvorenog poluprostora, kako mi dodjeo do tih hiperavnina?[/code]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
Unnamed One
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 06. 2005. (22:09:33)
Postovi: (3C)16
Sarma = la pohva - posuda
11 = 11 - 0

PostPostano: 15:54 ned, 19. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

Na predavanjima smo n - dimenzionalni simpleks definirali kao konveksnu ljusku od (n+1) nezavisnih točaka. Dakle, to je ono što znamo. Zatim je slijedila neka propozicija koja kaže da je simpleks Sn skup svih točaka afinog prostora takvih da je radijvektor te točke konveksna kombinacija (zbroj skalara je 1, svi su >= 0) radijvektora vrhova simpleksa. Dokaz propozicije je bio ostavljen za zadaću. Pretpostavljam da si ti krenuo od definicije simpleksa preko radijvektora pa zatim htio dokazati da je taj simpleks zapravo konveksna ljuska nekih točaka pa je zato došlo do malog nesporazuma. Koliko sam shvatio, zanima te dokaz jednakosti

Conv{A0,...,An}={T:[radijvektor od T konveksna kombinacija radijvektora radijvektora od A0,..,An]} (*)

pri čemu jednu od tih dviju strana zovemo simpleksom. Uglavnom, neka nam je (*) pretpostavka indukcije, ri radijvektor točke Ai, ti neki skalar uz ri sa segmenta [0,1] takav da je t0+t1+...+tn=1.

Desna strana je konveksna i sadrži točke A0,..,An pa ćemo indukcijom dokazivati samo ovu inkluziju >= jer se ona druga dokazuje bez korištenja pretpostavke. Uglavnom, uzmemo točku T iz skupa s desne strane jednakosti. Tada je njezin radijvektor r(T)

r(T)=(t0)(r0)+...+(tn)(rn)+(t(n+1))(r(n+1)).

Uzmem pravac kroz tu točku, npr.

r=r(T)+m(-t(n+1)r(n+1)+t(n+1)r(1)), m je neki skalar.

(mogli smo uzeti i neki drugi pravac kroz tu točku, ali ovaj je dosta praktičan). U jednadžbu pravca uvrstim m=1. Nakon računa vidim da sam dobio točku X koja se nalazi na n strani (n+1) simpleksa. Radi pretpostavke indukcije znam da se ona nalazi u

Conv{A0,...,An}, tj.

ne moraju baš biti u konveksnoj ljusci prvih n+1 točaka, nego nekih n+1 od njih n+2 pa se uzme permutacija... Dakle, ta točka je sigurno sadržana u

Conv{A0,...,A(n+1)}.

[color=white]Uzmemo m=0 pa dobijemo da je točka A(n+1) na tom pravcu pa je i A(n+1) sadržana u[/color] [color=red]/*ISPRAVAK: ne uzme se m=0, nego m=- t1 / t(n+1), pa se onda iskoristi pretpostavka, za m=0 se dobije točka T, a to nam baš i ne koristi*/[/color]

Conv{A0,...,A(n+1)}.

Kako je lijeva strana jednakosti konveksan skup slijedi da je svaka točka na tom pravcu između ovih točaka koje se dobiju za m=1 i m=0 sadržana u desnoj strani. Dakle, dovoljno nam je pokazati da je T između tih dviju točaka. Uočimo da vrijedi da je

r(T)= (a1)r(x)+(a2)r(n+1)

kada je a1=t1/(t1+t(n+1)), a2=t(n+1)/(t1+t(n+1)). Kako je a1+a2=1, a2>=0, a1>=0 zaključujemo da je točka T između A(n+1) i X i to je to.


Pitanje o poluprostorima:
Od n+1 nezavisnih točaka koje su vrhovi simpleksa njih n mogu odabrati na n+1 način, tj. mogu napraviti n+1 različitih hiperravnina. iperravnina mi generira 2 poluprostora pa od njih odaberem onaj koji sadrži vrh simpleksa koji nije u toj hiperravnini. Iz propozicije koju sam dokazao se lako izvedu jednadžbe tih poluprostora...
Na predavanjima smo n - dimenzionalni simpleks definirali kao konveksnu ljusku od (n+1) nezavisnih točaka. Dakle, to je ono što znamo. Zatim je slijedila neka propozicija koja kaže da je simpleks Sn skup svih točaka afinog prostora takvih da je radijvektor te točke konveksna kombinacija (zbroj skalara je 1, svi su >= 0) radijvektora vrhova simpleksa. Dokaz propozicije je bio ostavljen za zadaću. Pretpostavljam da si ti krenuo od definicije simpleksa preko radijvektora pa zatim htio dokazati da je taj simpleks zapravo konveksna ljuska nekih točaka pa je zato došlo do malog nesporazuma. Koliko sam shvatio, zanima te dokaz jednakosti

Conv{A0,...,An}={T:[radijvektor od T konveksna kombinacija radijvektora radijvektora od A0,..,An]} (*)

pri čemu jednu od tih dviju strana zovemo simpleksom. Uglavnom, neka nam je (*) pretpostavka indukcije, ri radijvektor točke Ai, ti neki skalar uz ri sa segmenta [0,1] takav da je t0+t1+...+tn=1.

Desna strana je konveksna i sadrži točke A0,..,An pa ćemo indukcijom dokazivati samo ovu inkluziju >= jer se ona druga dokazuje bez korištenja pretpostavke. Uglavnom, uzmemo točku T iz skupa s desne strane jednakosti. Tada je njezin radijvektor r(T)

r(T)=(t0)(r0)+...+(tn)(rn)+(t(n+1))(r(n+1)).

Uzmem pravac kroz tu točku, npr.

r=r(T)+m(-t(n+1)r(n+1)+t(n+1)r(1)), m je neki skalar.

(mogli smo uzeti i neki drugi pravac kroz tu točku, ali ovaj je dosta praktičan). U jednadžbu pravca uvrstim m=1. Nakon računa vidim da sam dobio točku X koja se nalazi na n strani (n+1) simpleksa. Radi pretpostavke indukcije znam da se ona nalazi u

Conv{A0,...,An}, tj.

ne moraju baš biti u konveksnoj ljusci prvih n+1 točaka, nego nekih n+1 od njih n+2 pa se uzme permutacija... Dakle, ta točka je sigurno sadržana u

Conv{A0,...,A(n+1)}.

Uzmemo m=0 pa dobijemo da je točka A(n+1) na tom pravcu pa je i A(n+1) sadržana u /*ISPRAVAK: ne uzme se m=0, nego m=- t1 / t(n+1), pa se onda iskoristi pretpostavka, za m=0 se dobije točka T, a to nam baš i ne koristi*/

Conv{A0,...,A(n+1)}.

Kako je lijeva strana jednakosti konveksan skup slijedi da je svaka točka na tom pravcu između ovih točaka koje se dobiju za m=1 i m=0 sadržana u desnoj strani. Dakle, dovoljno nam je pokazati da je T između tih dviju točaka. Uočimo da vrijedi da je

r(T)= (a1)r(x)+(a2)r(n+1)

kada je a1=t1/(t1+t(n+1)), a2=t(n+1)/(t1+t(n+1)). Kako je a1+a2=1, a2>=0, a1>=0 zaključujemo da je točka T između A(n+1) i X i to je to.


Pitanje o poluprostorima:
Od n+1 nezavisnih točaka koje su vrhovi simpleksa njih n mogu odabrati na n+1 način, tj. mogu napraviti n+1 različitih hiperravnina. iperravnina mi generira 2 poluprostora pa od njih odaberem onaj koji sadrži vrh simpleksa koji nije u toj hiperravnini. Iz propozicije koju sam dokazao se lako izvedu jednadžbe tih poluprostora...




Zadnja promjena: Unnamed One; 21:01 ned, 19. 2. 2006; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
apezic
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 10. 2005. (15:43:48)
Postovi: (19)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 1 - 2

PostPostano: 19:29 ned, 19. 2. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite

Puno hvala na iscrpnom odgovoru :P
Puno hvala na iscrpnom odgovoru Razz


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Euklidski prostori Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan