Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

aritmeričke funkcije (zadatak)

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> (Elementarna) teorija brojeva
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
bibica
Gost
PostPostano: 18:48 sri, 12. 4. 2006    Naslov: aritmeričke funkcije Citirajte i odgovorite
Da li mi može netko pomoći rješiti ovaj zadatak!
Označimo sa Q(x) broj kvadratno slobodnih prirodnih brojeva koji su <=x. Koliki je Q(20)? Dokažite da je
Q(x)=S|u(n)|=SSu(d)
(S je suma kada je n<=x) i (SS su dvije sume a prva S kada je n<=x i druga suma S kada je d^2|2).
Malo je zbrkano ali neznam napisati u Latex-u.
Da li mi može netko pomoći rješiti ovaj zadatak!
Označimo sa Q(x) broj kvadratno slobodnih prirodnih brojeva koji su <=x. Koliki je Q(20)? Dokažite da je
Q(x)=S|u(n)|=SSu(d)
(S je suma kada je n<=x) i (SS su dvije sume a prva S kada je n<=x i druga suma S kada je d^2|2).
Malo je zbrkano ali neznam napisati u Latex-u.


[Vrh]
duje
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
338 = 339 - 1
PostPostano: 21:06 sri, 12. 4. 2006    Naslov: Re: aritmeričke funkcije Citirajte i odgovorite
[quote="bibica"]Dokažite da je
Q(x)=S|u(n)|=SSu(d)
(S je suma kada je n<=x) i (SS su dvije sume a prva S kada je n<=x i druga suma S kada je d^2|2).
[/quote]
Po definiciji Mobiusove funkcije (oznacit cu je i ja sa u) je |u(n)|=1 ako je n kvadratno slobodan, a u(n)=0 inace. Zato suma_{n<=x} |u(n)| broji koliko ima kvadratno slobodnih brojeva <=x, a to je po definiciji jednako Q(x).
Jos treba dokazati da je |u(n)| = suma_{d^2|n} u(d). To se dobije iz cinjenice da se svaki prirodan broj n moze na jedinstven nacin prikazati u obliku n=r*s^2, gdje je r kvadratno slobodan (s se dobije tako da se za svaki prost broj p koji dijeli n uzme najveca parna potencija od p koja dijeli n - tada je s^2 produkt svih takvih potencija).
Sada je ocito da je n kvadratno slobodan ako i samo ako je s=1. To povlaci da je |u(n)|=suma_{d|s} u(d) (desna strana je jednaka 1 ako i samo ako je s=1 - to ima u [url=http://web.math.hr/~duje/utb/utblink.pdf]skripti[/url] na str. 46). Na kraju jos samo treba uociti da d|s ako i samo ako d^2|n.

Ono sa Q(20) bih svakako preporucio da sami izracunate.
bibica (napisa):
Dokažite da je
Q(x)=S|u(n)|=SSu(d)
(S je suma kada je n⇐x) i (SS su dvije sume a prva S kada je n⇐x i druga suma S kada je d^2|2).

Po definiciji Mobiusove funkcije (oznacit cu je i ja sa u) je |u(n)|=1 ako je n kvadratno slobodan, a u(n)=0 inace. Zato suma_{n⇐x} |u(n)| broji koliko ima kvadratno slobodnih brojeva ⇐x, a to je po definiciji jednako Q(x).
Jos treba dokazati da je |u(n)| = suma_{d^2|n} u(d). To se dobije iz cinjenice da se svaki prirodan broj n moze na jedinstven nacin prikazati u obliku n=r*s^2, gdje je r kvadratno slobodan (s se dobije tako da se za svaki prost broj p koji dijeli n uzme najveca parna potencija od p koja dijeli n - tada je s^2 produkt svih takvih potencija).
Sada je ocito da je n kvadratno slobodan ako i samo ako je s=1. To povlaci da je |u(n)|=suma_{d|s} u(d) (desna strana je jednaka 1 ako i samo ako je s=1 - to ima u skripti na str. 46). Na kraju jos samo treba uociti da d|s ako i samo ako d^2|n.

Ono sa Q(20) bih svakako preporucio da sami izracunate.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> (Elementarna) teorija brojeva Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan