tm. o srednjoj vrijednosti za vektorske f-je (objasnjenje gradiva)

[Gost]

U dokazu tm. smo pokazali da je
g(1)-g(0)=(Q|f(Po +H)-f(Po)) i onda da je to jednako ||f(Po+H)-f(Po)||, nerazumijem zasto je to tako??
ako moze netko da mi malo to pojasni?! hvala!

[luce]

zbog definicije vektora Q=(f(Po +H)-f(Po))/||f(Po +H)-f(Po)||
raspisi pa ce ti biti jasnije...norma 'izadje van'
pa je
(Q|f(Po +H)-f(Po))=1/||f(Po +H)-f(Po)|| * (f(Po +H)-f(Po)|f(Po +H)-f(Po)) = 1/||f(Po +H)-f(Po)|| * ||f(Po +H)-f(Po)||^2 = ||f(Po +H)-f(Po)||

[annna]

Da ne otvaram novi topic, radi se o istom teoremu..

Profesor na usmenom pita uz koji dodatni uvjet su nam pretpostavke teorema zadovoljene (dakle, da je skup onih normi diferencijala fje f u točki P omeđen, za svaku P iz segmenta [P0, P0+H] )
Odgovor je uz pretpostavku da je funkcija f klase C^1 na skupu omega.
Treba to objasniti..
Sada, u napomeni poslije teorema stoji da pošto je f klase C^1, onda je funkcija koja točki P pridružuje ||Df(P)|| neprekidna na segmentu [P0,P0+H] koji je kompaktan pa je po Weierstrassovom teoremu ta fja omeđena.

Pitanja:

1. Pretpostavljam da trebamo koristiti i teorem koji kaže da je za neprekidnu funkciju na kompaktu i skup njenih vrijednosti kompaktan (dakle i omeđen - što smo i tražili).

2. Zašto je funkcija P → ||Df(P)|| neprekidna?
Ja bi rekla da zato što je kompozicija funkcija Df:omega→Hom(R^n,R^m) i operatorske norme ||.||:Hom(R^n,R^m)→R. Df je neprekidna jer je f klase C^1, a za normu smo negdje dokazali da je neprekidna.
Meni se ovo čini ok, ali kad sam pogledala bilješke s usmenog, kod ovog pitanja mi stoji da operatorska norma ide sa segmenta [P0,P0+H] u R (prilično sam sigurna da je profesor rekao da je to točan odgovor). To mi se ne čini točno jer operatorska norma uzima linearne operatore, u ovom slučaju Df(P) koji leže u Hom(R^n,R^m) pa bi to trebala biti domena..
Dakle, tko je u pravu?

[Grga]

U pravu si, operatorska norma je neprekidna funkcija, a za funkciju klase C1 je i Df, funkcija koja tockama pridruzuje diferencijal neprekidna, pa je i njihova kompozicija neprekidna, pa je slika kompaktnog skupa kompaktan, dakle i omeden skup.
Domena operatorske norme je vektorski prostor lin. operatora, kao sto si i rekla, a ovo sto ti pise je ocito neka greska

_________________
Bri