Dva teorijska pitanja (objasnjenje gradiva)

[Ongo]

Hi.
Imam dva pitanja iz davnog gradiva (bolje ikad nego nikad):
Prvo:
Teorem 16: geom. kratnost sv. vrijednosti l je manja ili jednaka algebarskoj.

E sad, da ne bi bilo da Ongo nis ne radi, evo kako sam ja to krenuo dokazivati:

Av=lv
Av-lv=0
(A-lI)v=0

E sad, v je svojstveni vektor iz svojstvenog prostora svojstvene vrijednosti l. Takvih moze biti i vise; recimo da je geom. kratnost (aka dimenzija svojstvenog prostora svojstvene vrijednosti) l, d.
Ja bih rekao da tada mozemo te svojstvene vektore v[i] staviti u stupce matrice C, te je:

(A-lI)C=0

Ako je rang od C jednak d (nisam siguran da to mozemo zakljuciti), a dimenzija vektorskog prostora V (A je iz Lin(V)) jednaka n, tada je defekt(A-lI)>=n-d. Naravno, ja bih jako volio iz ovoga zakljuciti da tada alg. kratnost l mora biti >=d, no mislim da to necu moci...

Prof. A. je to tako lijepo dokazao, no dokaz nikako ne razumijem; moze li mi dobra dusa (recimo Alen ) priskociti upomoc?

Drugo pitanje je jos cudnije; vezano je uz teorem 3:
V je n-dim. v. pr. nad F. Tada je V izomorfan s prostorima: M[n*1](F) i F^n.

Uopce mi nije jasno sto tu treba dokazivati, no nisam to krenuo pitati; u teoremu 2 lijepo kaze da, ukoliko su prostori V i W jednakih dimenzija (sto je u teoremu 3, slozit cemo se, slucaj), a f:V->W linearna (u dokazu teorema 3, dokazemo da imamo takvu), tada je ekvivalentno; f je injekcija, f je surjekcija, f je bijekcija. No, u dokazu teorema 3 pak pise, da valja dokazati surjektivnost i injektivnost (da bi smo utvrdili bijektivnost). Moje pitanje bode u oci; je li dovoljno dokazati samo surjektivnost (ili samo injektivnost)?

[Gost]

Za prvo pitanje:
Standardni dokaz je sljedeći. Baza svojstvenog potprostora
(za svojstvenu vrijednost lambda0, recimo) proširi se do baze cijelog prostora. U tako dobivenoj bazi matrica operatora u prvih d stupaca (ako je d geometrijska kratnost) ima po dijagonali lambda0, a ostalo 0. U preostalih n-d stupaca može imati "bilo što", no karakteristični polinom napisan pomoću ove matrice ima d faktora oblika
(lambda - lambda0), a preostali faktor je polinom stupnja n-d u lambda koji može (i ne mora) također biti djeljiv s (lambda - lambda0). Dakle, algebarska kratnost je barem d, možda i veća.


Za drugo pitanje:
Doista, ključna stvar je da su prostori jednake dimenzije nad istim poljem izomorfni, a spomenuti prostori n-torki i jednostupčanih matrica predstavljaju specijalni slučaj (važan jer je tipičan - obično radimo s takvim vektorima). Taj izomorfizam uspostavlja se tako da se bilo kojoj bazi jednog prostora pridruže, proizvoljnim redoslijedom, vektori baze drugog prostora pa se "proširi po linearnosti".
Za "neki" dokaz izomorfnosti dvaju prostora jednake dimenzije n (konačne, dakle) doista je dovoljno provjeriti samo injektivnost ili samo surjektivnost. (Ovisi o tome da li se već barata s teoremom o rangu i defektu ili ne).