Ortogaonalni komplement (zadatak)

[Gost]

Jel bi mi neka dobra dušica htjela riješiti ili barem objasniti ovaj zadatak:

U Unitarnom prostoru P[2] polinoma stupnja manjeg ili jednakog dva sa skalarnim produktom <p|q>=(integral od 0 do 1)p(t)q(t)dt, odredite ortogonalni komplement S ortogonalno, skupa S={p[1]}, gdje je p[1](t)=1-t. Odredite bazu i dimenziju dobivenog ortogonalnog komlementa.

[MB]

ne znam kako ste radili na vjezbama, ali pretpostavljam da znas ponesto teorije.
pocetni prostor je 3-dimenzionalan. Skup S razapinje 1-dimenzionalni potprostor. Zato ce ti dimenzija komplementa biti 2.

za trazenje baze zapisi q(t)=at^2+bt+c i postavi uvjet da je <p|q>=0.
izracunaj taj integral i to je uvjet na a, b i c.
dobit ces jednu jednadzbu s 3 nepoznanice (npr izrazi c preko a i b). kad to uvrstis u q moci ces procitati bazu.

dobivam da je uvjet 0=c+(b-c)/2+(a-b)/3-a/4, odnosno c=-a/6 - b/3.
pa za bazu dobivam npr, {t^2-1/6, t-1/3}.
nadam se da je sve dobro, javi ako zapnes.

[Gost]

Hvala ti MB!! Spašavaš!