Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Definitnost operatora (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Linearna algebra 1 & 2 (za inženjerske smjerove)
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Mad Wilson
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 05. 2006. (22:51:14)
Postovi: (121)16
Sarma = la pohva - posuda
23 = 34 - 11
PostPostano: 20:17 sub, 17. 6. 2006    Naslov: Definitnost operatora Citirajte i odgovorite
Evo jednog zadatka s vjezbi. Zadatak je zadan za domacu zadacu, pa me neobicno zanima jesam li ga tocno rijesio.

Zad.
Neka su f i g pozitivno definitni operatori. Dokazite da je njihova kompozicija pozitivno definitna akko f i g komutiraju (fg=gf).

Dem.

f i g su pozitivno definitni, pa su prema tome i hermitski. Neka su F=Mat(f) i G=Mat(g). Kako su hermitski mogu se ortogonalno dijagonalizirati. Neka F' i G' upravo te dijagonalne matrice. One na dijagonalama imaju pozitivne brojeve (prema pretpostavci o pozitivnoj definitnosti). Tada i F*G na dijagonali ima pozitivne brojeve. Preostaje dokazati da je F*G hermitski. Da bi to bio, mora vrijediti F*G=(F*G)° .

Neka je F*G=K. Ako ne to djelujemo s °
G°*F°=K°

Da bi K=K° mora vrijediti da je F*G=G°*F° . Kako je F=F° i G=G° tada mora je nuzno F*G=G*F, sto je i trebalo pokazati.

Q.E.D.

Ima smisla?
Evo jednog zadatka s vjezbi. Zadatak je zadan za domacu zadacu, pa me neobicno zanima jesam li ga tocno rijesio.

Zad.
Neka su f i g pozitivno definitni operatori. Dokazite da je njihova kompozicija pozitivno definitna akko f i g komutiraju (fg=gf).

Dem.

f i g su pozitivno definitni, pa su prema tome i hermitski. Neka su F=Mat(f) i G=Mat(g). Kako su hermitski mogu se ortogonalno dijagonalizirati. Neka F' i G' upravo te dijagonalne matrice. One na dijagonalama imaju pozitivne brojeve (prema pretpostavci o pozitivnoj definitnosti). Tada i F*G na dijagonali ima pozitivne brojeve. Preostaje dokazati da je F*G hermitski. Da bi to bio, mora vrijediti F*G=(F*G)° .

Neka je F*G=K. Ako ne to djelujemo s °
G°*F°=K°

Da bi K=K° mora vrijediti da je F*G=G°*F° . Kako je F=F° i G=G° tada mora je nuzno F*G=G*F, sto je i trebalo pokazati.

Q.E.D.

Ima smisla?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vanish
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 02. 10. 2005. (22:45:35)
Postovi: (6D)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
25 = 27 - 2
Lokacija: stambena zgrada
PostPostano: 17:56 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
To bi bilo dobro da znaš da su f i g dijagonalne u istoj ortonormiranoj bazi, ali ti to ne znaš: postoji ortonormirana baza u kojoj je matf dijagonalna, i postoji (općenito ne ista) ortonormirana baza u kojoj je matg dijagonalna.
To bi bilo dobro da znaš da su f i g dijagonalne u istoj ortonormiranoj bazi, ali ti to ne znaš: postoji ortonormirana baza u kojoj je matf dijagonalna, i postoji (općenito ne ista) ortonormirana baza u kojoj je matg dijagonalna.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
alen
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
Sarma = la pohva - posuda
132 = 230 - 98
PostPostano: 18:10 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
točno tako, vanish
točno tako, vanish



_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vanish
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 02. 10. 2005. (22:45:35)
Postovi: (6D)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
25 = 27 - 2
Lokacija: stambena zgrada
PostPostano: 18:37 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Hvala Vam, Alene, vrlo ste ljubezni.
Hvala Vam, Alene, vrlo ste ljubezni.




Zadnja promjena: vanish; 20:13 ned, 18. 6. 2006; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Gost
PostPostano: 20:10 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Ali, baš zato što komutiraju postoji zajednička ortonormirana baza u kojoj se dijagonaliziraju (vrijedi i općenitije za komutirajuću tj. Abelovu familiju operatora, ne samo za dva).
Ali, baš zato što komutiraju postoji zajednička ortonormirana baza u kojoj se dijagonaliziraju (vrijedi i općenitije za komutirajuću tj. Abelovu familiju operatora, ne samo za dva).


[Vrh]
Mad Wilson
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 05. 2006. (22:51:14)
Postovi: (121)16
Sarma = la pohva - posuda
23 = 34 - 11
PostPostano: 20:26 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
A da....

Hvala ti vanishe sto si uocio gresku. Moze sad tocno rijesenje...? :)
A da....

Hvala ti vanishe sto si uocio gresku. Moze sad tocno rijesenje...? Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
alen
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
Sarma = la pohva - posuda
132 = 230 - 98
PostPostano: 20:30 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Anonymous"]Ali, baš zato što komutiraju postoji zajednička ortonormirana baza u kojoj se dijagonaliziraju (vrijedi i općenitije za komutirajuću tj. Abelovu familiju operatora, ne samo za dva).[/quote]

To što komutiraju znači da fog i gof imaju istu ortonormiranu bazu u kojoj su dijagonalni, ali kako nešto zaključiti o bazama u kojima su dijagonalni f i g?
Anonymous (napisa):
Ali, baš zato što komutiraju postoji zajednička ortonormirana baza u kojoj se dijagonaliziraju (vrijedi i općenitije za komutirajuću tj. Abelovu familiju operatora, ne samo za dva).


To što komutiraju znači da fog i gof imaju istu ortonormiranu bazu u kojoj su dijagonalni, ali kako nešto zaključiti o bazama u kojima su dijagonalni f i g?



_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Gost
PostPostano: 20:37 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Ne fog i gof nego baš f i g. ovi koji komutiraju mogu se dijagonalizirati u istoj otronormiranoj bazi.
Ne fog i gof nego baš f i g. ovi koji komutiraju mogu se dijagonalizirati u istoj otronormiranoj bazi.


[Vrh]
alen
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
Sarma = la pohva - posuda
132 = 230 - 98
PostPostano: 22:03 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Ajd molim te pokaži da to vrijedi, ja nisam uspio.
Ajd molim te pokaži da to vrijedi, ja nisam uspio.



_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 22:41 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Anonymous"]Ali, baš zato što komutiraju postoji zajednička ortonormirana baza u kojoj se dijagonaliziraju (vrijedi i općenitije za komutirajuću tj. Abelovu familiju operatora, ne samo za dva).[/quote]
Netko je učio Vektorske 2, tako treba. :D

Tvdnja glasi ovako, to je tzv. [i]Teorem o istovremenoj dijagonalizaciji[/i]:
Ako je dana familija linearnih operatora na nekom kon.dim.v.p. takva da svaka dva operatora iz nje komutiraju i da se svaki operator iz te familije dade dijagonalizirati, onda postoji baza prostora u kojoj svi operatori iz te familije imaju dijagonalne matrice.

Dokazuje se (potpunom) indukcijom po dimenziji prostora V. Fiksiramo neki operator A iz te familije koji nije skalarni višekratnik od I. Tada njegovi svojstveni potprostori V_1,...,V_k (k>=2) u direktnoj sumi daju cijeli prostor V i invarijantni su u odnosu na sve operatore te familije (zbog komutativnosti). Prema tome, možemo iskoristiti pretpostavku indukcije za inducirane operatore na potprostorima V_1,...,V_k, koji imaju manju dimenziju nego V.
Ovo je naravno samo skica dokaza, ima se tu još štošta za raspisati.
Anonymous (napisa):
Ali, baš zato što komutiraju postoji zajednička ortonormirana baza u kojoj se dijagonaliziraju (vrijedi i općenitije za komutirajuću tj. Abelovu familiju operatora, ne samo za dva).

Netko je učio Vektorske 2, tako treba. Very Happy

Tvdnja glasi ovako, to je tzv. Teorem o istovremenoj dijagonalizaciji:
Ako je dana familija linearnih operatora na nekom kon.dim.v.p. takva da svaka dva operatora iz nje komutiraju i da se svaki operator iz te familije dade dijagonalizirati, onda postoji baza prostora u kojoj svi operatori iz te familije imaju dijagonalne matrice.

Dokazuje se (potpunom) indukcijom po dimenziji prostora V. Fiksiramo neki operator A iz te familije koji nije skalarni višekratnik od I. Tada njegovi svojstveni potprostori V_1,...,V_k (k>=2) u direktnoj sumi daju cijeli prostor V i invarijantni su u odnosu na sve operatore te familije (zbog komutativnosti). Prema tome, možemo iskoristiti pretpostavku indukcije za inducirane operatore na potprostorima V_1,...,V_k, koji imaju manju dimenziju nego V.
Ovo je naravno samo skica dokaza, ima se tu još štošta za raspisati.




Zadnja promjena: vjekovac; 22:44 ned, 18. 6. 2006; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
alen
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
Sarma = la pohva - posuda
132 = 230 - 98
PostPostano: 22:44 ned, 18. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
pa krasan zadatak za zadaću... dokažite teorem s v.p. 2... :lol:
nadam se da kolokvij neće bit otprilike te težine :oops: . vjeki hvala
pa krasan zadatak za zadaću... dokažite teorem s v.p. 2... Laughing
nadam se da kolokvij neće bit otprilike te težine Embarassed . vjeki hvala



_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Linearna algebra 1 & 2 (za inženjerske smjerove) Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan