Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Martinab Moderator
![Moderator Moderator](dyck.php?id=110&c=172094&t=1)
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
Postano: 12:21 uto, 27. 6. 2006 Naslov: Nekoliko zadataka iz zadaca |
|
|
[b][color=indigo]G konaèna grupa u kojoj vrijedi kracenje.
Dokazite da je G grupa.
Pokazite da je uvjet konaènosti bitan.[/color][/b]
Zadatak je vjerojatno trebao ici: G konacna POLUGRUPA u kojoj vrijedi kracenje.
SKICA:
Znaci imamo zatvorenost i asoc, treba pokazati da 1)obostranu jedinicu 2) obostrane inverze.
Za svaki element g gledamo preslikavanje l_g :G->G definirano sa l_g(h)=gh (lijevo mnozenje)
Zbog uvjeta kracenja ispada da je to injekcija, pa je zbog konacnosti bijekcija
Zbog toga za svaki element g postoji neki element h takav da je gh=g. Onda pokazemo da su svi ti h-ovi isti (opet koristimo bijektivnost)- imamo desnu jedinicu.
Analogno pokazemo da imamo i lijevu, i sad koristimo onaj zadatak s vjezbi da, ako imamo bar jednu lijevu i bar jednu desnu, moraju biti jednake.
Postojanje inverza sad slijedi iz bijektivnosti.
Protuprimjer je (N,+).
Detalje provjerite sami.
G konaèna grupa u kojoj vrijedi kracenje.
Dokazite da je G grupa.
Pokazite da je uvjet konaènosti bitan.
Zadatak je vjerojatno trebao ici: G konacna POLUGRUPA u kojoj vrijedi kracenje.
SKICA:
Znaci imamo zatvorenost i asoc, treba pokazati da 1)obostranu jedinicu 2) obostrane inverze.
Za svaki element g gledamo preslikavanje l_g :G→G definirano sa l_g(h)=gh (lijevo mnozenje)
Zbog uvjeta kracenja ispada da je to injekcija, pa je zbog konacnosti bijekcija
Zbog toga za svaki element g postoji neki element h takav da je gh=g. Onda pokazemo da su svi ti h-ovi isti (opet koristimo bijektivnost)- imamo desnu jedinicu.
Analogno pokazemo da imamo i lijevu, i sad koristimo onaj zadatak s vjezbi da, ako imamo bar jednu lijevu i bar jednu desnu, moraju biti jednake.
Postojanje inverza sad slijedi iz bijektivnosti.
Protuprimjer je (N,+).
Detalje provjerite sami.
_________________ A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
Zadnja promjena: Martinab; 12:50 uto, 27. 6. 2006; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
[Vrh] |
|
Martinab Moderator
![Moderator Moderator](dyck.php?id=110&c=172094&t=1)
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
Postano: 12:28 uto, 27. 6. 2006 Naslov: |
|
|
[b][color=indigo]H,K <= G, x,y iz G.
Hx=Ky => H=K.[/color][/b]
Jer je e u H, slijedi da je ex u Ky, tj. postoji k iz K td je x=ky. Stoga je yx^-1 =k^-1 iz K, pa imamo
H=(Hx)x^-1=Kyx^-1=Kk^-1=K
H,K ⇐ G, x,y iz G.
Hx=Ky ⇒ H=K.
Jer je e u H, slijedi da je ex u Ky, tj. postoji k iz K td je x=ky. Stoga je yx^-1 =k^-1 iz K, pa imamo
H=(Hx)x^-1=Kyx^-1=Kk^-1=K
_________________ A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
Zadnja promjena: Martinab; 12:51 uto, 27. 6. 2006; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
[Vrh] |
|
Martinab Moderator
![Moderator Moderator](dyck.php?id=110&c=172094&t=1)
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
|
[Vrh] |
|
Martinab Moderator
![Moderator Moderator](dyck.php?id=110&c=172094&t=1)
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
|
[Vrh] |
|
Martinab Moderator
![Moderator Moderator](dyck.php?id=110&c=172094&t=1)
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
Postano: 12:47 uto, 27. 6. 2006 Naslov: |
|
|
[b][color=indigo]A prsten neprekidnih funkcija. Dokazite da je I={f element A, f(0) = 0}
maksimalan ideal.[/color][/b]
Za dokazati da je ideal, treba dokazati da je potprsten (za svaki f,g iz I f-g i f*g su iz I), i da je ideal (za svaki f iz I i g iz A je fg iz I- dovoljno za jednostrani ideal, jer je A komutativan)
Dokaz da je maksimalan... Jedan koji mi sad pada na pamet je pogledati kvocijent A/I. Znaci imamo prsten neprekidnih funkcija, i ne razlikujemo one funkcije koje imaju istu vrijednost u 0 (tocno to znaci da im je razlika u I). Pa sto nam onda ostaje (sto znamo razlikovati)? Samo koja je vrijednost funkcije u 0. A to je tocno (R,+,*), polje realnih brojeva. Dakle, kvocijent je polje, pa je ideal maksimalan.
A prsten neprekidnih funkcija. Dokazite da je I={f element A, f(0) = 0}
maksimalan ideal.
Za dokazati da je ideal, treba dokazati da je potprsten (za svaki f,g iz I f-g i f*g su iz I), i da je ideal (za svaki f iz I i g iz A je fg iz I- dovoljno za jednostrani ideal, jer je A komutativan)
Dokaz da je maksimalan... Jedan koji mi sad pada na pamet je pogledati kvocijent A/I. Znaci imamo prsten neprekidnih funkcija, i ne razlikujemo one funkcije koje imaju istu vrijednost u 0 (tocno to znaci da im je razlika u I). Pa sto nam onda ostaje (sto znamo razlikovati)? Samo koja je vrijednost funkcije u 0. A to je tocno (R,+,*), polje realnih brojeva. Dakle, kvocijent je polje, pa je ideal maksimalan.
_________________ A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
[Vrh] |
|
|