Grupe

[Jaca]

U grupi G za a,b iz G, b razlicito od e, vrijedi a^2=e i (b^2)a=a(b^3). Dokazite da je |b|=5!


(zadatak s roka 1.3.2006) Pokusavam ga rijesiti vec dva dana, ali ocito nemam inspiraciju. Ne mogu nikako iskemijati da je b^5=e.

Ako netko ima ideju, pliz pisite!

_________________
Ispravite me, ako griješim!

[Martinab]

Hm... Ne sjecam se kako je rjesenje islo u detalje. Sjecam se medukoraka: prvo petljas petljas petljas i dokazes da je baba=e. Onda daljnjim petljanjem dokazes da je b^6=b. Treci korak (kojeg svi uvjek zaborave) je komentirati zasto iz b^5=e slijedi |b|=5 (zasto red ne bi bio manji od 5).

To je ionak zadatak za igranje

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[Martinab]

Evo raspisala sam.

b^2 a=ab^3
a=b^2ab^-3 /to kvadriramo
e=b^2ab^-1ab^-3 /mnozim zdensna s b^3, slijeva s b^-2
b=ab^-1a , sto je ekvivalentno s baba=e, ili (u ovoj formi ce mi trebati)
aba=b^-1


sad... b^3=ab^2a /kvadriram
b^6=ab^4a
=ab^3ba
=b^2 aba
=b
b^5=e

Sad jos samo treba iskomentirati zasto ne moze postojati nijedan manji k takav da je b^k=e, tj. zasto je stupanj od b tocno 5.

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[Jaca]

WOW...

puno hvala!! Ja sam sama uspjela doci jedino do baba=e ... i tu skroz zablokirala. Naravno, sad kad je raspisan mi izgleda jednostavan (to je uglavnom uvijek tako) ali bas sam bila glavu s njim razbijala ( )

Hvala!

_________________
Ispravite me, ako griješim!

[vsego]

[Jaca]

Sto se tice komentara da je |b|=5 jel moze ovako:

Pretp. da |b|=k<5 , tj. b^k=e i k =min{ n iz N | b^n =e}.
Sada 5=kq+r , 0<= r<k tj. b^5= (b^k)^q * b^r pa slijedi da je b^r=e i r<k sto je kontradikcija s pretpostavkom da je k minimalan takav.
Slijedi da je r=0 i b^5=b^(kq) odnosno k|5.
No, 5 je prost pa je k|5 i 0<k<5 kontradikcija!

Dakle, mora biti k=5.

_________________
Ispravite me, ako griješim!

[Martinab]

Da. ali k|5, a 5 je prosto, ostavlja jos jednu mogucnost: k=1. Pa onda jos skomentiras zakaj ne moze to.

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[Jaca]

Zbog pocetnog uvjeta (tekst zadatka) da je b razlicito od e !

_________________
Ispravite me, ako griješim!

[Martinab]

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[tihana]

kako riješiti 4. zadatak s ovog kolokvija

fala

_________________
I aim to misbehave

[Martinab]

Ovak, ak te zanima za ovaj kolokvij, onda nikako (to jos nismo radili, bar ja nisam stigla u svojoj grupi, Filip je mozda dotaknuo).

Ako te zanima generalno, a i da bude rjesenje ovdje: trazis grupu automorfizama ciklicke grupe. Bilo koji homomorfizam s ciklicke grupe negdje je potpuno odreden s time gdje salje generator, u ovom slucaju 1 (recimo da ga salje u i, i=0,1,2,...,1. Sad jos gledas kad je to injekcija (provjeravas Kerf=0). U ovom slucaju dobijes da nije injekcija samo za i=0; opcenito bi dobila i=0 i sve i koji nisu relativno prosti s redom pocetne grupe (u ovom slucaju 19 je prost, pa su svi 1,...,18 rel pr s njim). Buduci da se radi o funkciji s konacnog skupa G na njega samog, onda je injekcija akko je surjekcija pa to ne treba posebno provjeravati. Dakle grupa Aut(Z_19)={f_1,f_2,...,f_18}, gdje je f_i funkcija potpuno odredena sa f_i(1)=i, i jos samo treba provjeriti koja kako se te funkcije komponiraju. Tu se lako vidi da je f_i(f_j(1))=ij=f_{ij mod 19}(1). Drugim rijecima, grupa Aut(Z_19) je izomorfna sa Z_19* s mnozenjem modulo 19. Da n=19 nije prost, bila bi grupa svih brojeva manjih od n relativno prostih s n, uz operaciju mnozenja modulo n.

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[marijap]

http://web.math.hr/nastava/alg/pismeni/Alg-06-srpanj

što su rješenja u zadatku 3 ? (klase i izomorfizam)

[Martinab]

E, ovo mi je krasan zadatak. Dobro, nije bas, ali lijepo provjerava jel su studenti skuzili def kvoc grupe.

Klase su
[(0,0)]=(0,0)+H={(0,0),(1,0),(2,0),(0,3),(1,3),(2,3)}
[(0,1)]=(0,1)+H={(0,1),(1,1),(2,1),(0,4),(1,4),(2,4)}
[(0,2)]=(0,2)+H={(0,2),(1,2),(2,2),(0,2),(1,2),(2,2)}

Primjeti da ova prva grua Z_3 totalo pogine, u smislu da ako se dva elementa razlikuju samo za neksto iz te grupe, onda su u istoj klasi, pa ona ne nosi nikave informacije. Zapravo je mozda dobro to uociti odmah i razmisljati o G/N=Z_6/Z2 . (Z2 je izomorfna sa {0,3} podskupom od Z_6). U svakom slucaju, kad pogledas ove tri klase i kak se mnoze, ODMAH ti treba past na pamet da je to izmorfno sa Z_3: prvu klasu gore posaljes u 0, drugu u 1, trecu u 2. Onda jos mozes za vejzbu provjeriti da je to homomorfizam dok ti ne posatne OCITO da stvarno je.

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[marijap]

hvala, još ću si to malo proučit...
p.s. http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=60695&highlight=klase+grupe#60695
i ovo je malo pomoglo

[marijap]

ja jednostavno ne mogu sama dobiti te klase...
nije mi jasno kako smo uzeli elemente x i kako se dobiju 2. i 3. klasa?
sad mi se sve pomiješalo...

[Martinab]

To su kvoc grupe, to jos nisamo radili na vjezbama.

Gledas sve moguce klase oblika x+H. S tim da ZNAS da ako je y element od x+H, onda je y+H=x+H pa tu klasu ne moras racunat.

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[marijap]

[andreao]

a vidiš kaj ti se podudara sa vježbama

_________________

[teh_pwnerer]

Jel itko rješio 10. zadatak s predavanja? Samo mi princip treba, da vidim kak to ide. Kaže:

Neka su:
G = GL2(|K)
B = skup svih gornjetrokutastih matrica iz G
H = skup svih dijagonalnih matrica iz G.

1) Da li su B i H normalne podgrupe od G?
2) Izračunati NG(H) i NG(B).
3) Izračunati centar grupe G.

[Gost]

jel mi može neko objasnit to s tim redovima meni to nije nikako jasno..
recimo 1. zadatak iz 3. zadaće http://web.math.hr/nastava/alg/zadace/zadaca3.pdf