| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
zavod za analizu
Forumaš s poteškoćama u pisanju
Pridružen/a: 23. 06. 2006. (05:33:55)
Postovi: (5A)16
Spol: 
|
 Postano: 14:30 ned, 2. 7. 2006 Naslov: Re: zadaci sa rokova |
    |
|
|
[quote="a Zavod fan"]28.11.2005. Zad1.:
Izracunajte krivuljni integral prve vrste Int(po gama) xyzds gdje je gama krivulja koja ide po dijelu kruznice
x^2+y^2+z^2=R^2, x^2+y^2=R^2/4 koja lezi u prvom oktantu[/quote]
Dio te kružnice u prvom oktantu ima jednadžbu
[latex]x^2+y^2=(\frac{R}{2})^2, \ \ z=\frac{\sqrt{3}}{2}R[/latex],
odnosno parametarski
[latex]x=\frac{R}{2}\cos t, \ \ y=\frac{R}{2}\sin t, \ \ z=\frac{\sqrt{3}}{2}R[/latex], pri čemu je [latex]t\in[0,\frac{\pi}{2}][/latex].
Integral je
[latex]\int_{\Gamma}xyz\,ds=\int_{0}^{\pi/2}\frac{R}{2}\cos t \frac{R}{2}\sin t \frac{\sqrt{3}}{2}R \frac{R}{2}\,dt=\frac{\sqrt{3}R^4}{32}[/latex]
[quote="a Zavod fan"]22.02.2006.
Nadjite analiticku funkciju f(z)=u(z)+iv(z) kojoj je imaginarni dio
v(z)=3 + x^2-y^2- y/(2(x^2+y^2))[/quote]
[latex]v(x,y)=3 + x^2-y^2- \frac{y}{2(x^2+y^2)}
[/latex]
Iz Cauchy-Riemannovih jednadžbi znamo
[latex]\partial_{1}u(x,y)=\partial_{2}v(x,y)=-2y+ \frac{y^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{1}{2(x^2+y^2)}
[/latex]
pa je
[latex]u(x,y)=\int\partial_{2}v(x,y)\,dx=-2xy+ \frac{x}{2(x^2+y^2)}+w(y)
[/latex]
za neku nepoznatu funkciju w koju odredimo deriviranjem posljednje jednakosti po y:
[latex]\partial_{2}u(x,y)=-2x-\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}+w'(y)[/latex]
Naime, zbog Cauchy-Riemannovih jednadžbi je
[latex]\partial_{2}u(x,y)=-\partial_{1}v(x,y)=-2x -\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}[/latex]
pa uspoređivanjem dobivamo w'(y)=0, tj. w(y)=C za neku realnu konstantu C.
Konačno,
[latex]f(z)=f(x,y)=\Big(-2xy+ \frac{x}{2(x^2+y^2)}+C\Big)+i\Big(3 + x^2-y^2- \frac{y}{2(x^2+y^2)}\Big)[/latex]
Ako se traži samo neka funkcija f, onda možemo uzeti C=0.
| a Zavod fan (napisa): | 28.11.2005. Zad1.:
Izracunajte krivuljni integral prve vrste Int(po gama) xyzds gdje je gama krivulja koja ide po dijelu kruznice
x^2+y^2+z^2=R^2, x^2+y^2=R^2/4 koja lezi u prvom oktantu |
Dio te kružnice u prvom oktantu ima jednadžbu
 ,
odnosno parametarski
 , pri čemu je  .
Integral je
| a Zavod fan (napisa): | 22.02.2006.
Nadjite analiticku funkciju f(z)=u(z)+iv(z) kojoj je imaginarni dio
v(z)=3 + x^2-y^2- y/(2(x^2+y^2)) |
Iz Cauchy-Riemannovih jednadžbi znamo
pa je
za neku nepoznatu funkciju w koju odredimo deriviranjem posljednje jednakosti po y:
Naime, zbog Cauchy-Riemannovih jednadžbi je
pa uspoređivanjem dobivamo w'(y)=0, tj. w(y)=C za neku realnu konstantu C.
Konačno,
Ako se traži samo neka funkcija f, onda možemo uzeti C=0.
_________________  |
|
| [Vrh] |
|
Denzil
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 04. 2005. (09:35:09)
Postovi: (30)16
|
|
| [Vrh] |
|
zavod za analizu
Forumaš s poteškoćama u pisanju
Pridružen/a: 23. 06. 2006. (05:33:55)
Postovi: (5A)16
Spol:
|
| Postano: 14:27 sri, 5. 7. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="Denzil"]jel mozes molim te objasnit samu TEORIJU..kako si dosao do one parametrizacije u prvom zadatku..dakle zasto i kako vrijedi to sto si napiso prije samog integrala...
hvala[/quote]
Možemo probati.
Najprije primijeti da je presjek sfere [latex]x^2+y^2+z^2=R^2[/latex] i cilindra [latex]x^2+y^2=R^2/4[/latex] unije dvije kružnice, pa trebamo najprije vidjeti koja od tih kružnica uopće ima dio koji se nalazi u prvom oktantu.
Tražimo jednadžbu ravnina u kojoj leže gornje kružnice, tj rješimo gornji sustav jednadžbi (npr. drugu pomnožiš s -1 i dodaš prvoj)
pa dobijemo [latex]z^2=3R^2/4[/latex], odnosno [latex]|z|=\sqrt{3}R/2[/latex].
Mi hoćemo da naša kružnica sadrži dio koji leži u prvom oktantu, pa mora biti [latex]z>0[/latex], dakle [latex]z=\sqrt{3}R/2[/latex].
Znači tražena kružnica nalazi se na presjeku cilindra [latex]x^2+y^2=R^2/4[/latex] i ravnine [latex]z=\sqrt{3}R/2[/latex] i sad parametriziramo dio kružnice za kojeg je istovremeno [latex]x,y>0[/latex]. A to je npr. parametrizacija [latex]t \mapsto (R/2 \cos t , R/2 \sin t, \sqrt{3}R/2)[/latex], pri čemu je [latex]t \in [0, \pi/2][/latex].
I to dalje uvrstiš u formulu po kojoj se računa krivuljni integral prve vrste.
:drinking:
| Denzil (napisa): | jel mozes molim te objasnit samu TEORIJU..kako si dosao do one parametrizacije u prvom zadatku..dakle zasto i kako vrijedi to sto si napiso prije samog integrala...
hvala |
Možemo probati.
Najprije primijeti da je presjek sfere  i cilindra  unije dvije kružnice, pa trebamo najprije vidjeti koja od tih kružnica uopće ima dio koji se nalazi u prvom oktantu.
Tražimo jednadžbu ravnina u kojoj leže gornje kružnice, tj rješimo gornji sustav jednadžbi (npr. drugu pomnožiš s -1 i dodaš prvoj)
pa dobijemo  , odnosno  .
Mi hoćemo da naša kružnica sadrži dio koji leži u prvom oktantu, pa mora biti  , dakle  .
Znači tražena kružnica nalazi se na presjeku cilindra i ravnine i sad parametriziramo dio kružnice za kojeg je istovremeno  . A to je npr. parametrizacija  , pri čemu je  .
I to dalje uvrstiš u formulu po kojoj se računa krivuljni integral prve vrste.
_________________ |
|
| [Vrh] |
|
Denzil
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 04. 2005. (09:35:09)
Postovi: (30)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
pa vjerojatno negdje grijesim...
