Gauss-Legendreova integracija-dokaz teorema? (objasnjenje gradiva)

[LSSD]

Treba mi dokaz slijedeceg teorema:
a)Neka su x[1],...,x[n] nultocke n-tog ortogonalnog polinoma p[n](x) i neka su w[1],...,w[n] rjesenja sustava jednadzbi
(**) suma(i=1 do n)(p[k](x)[i]*w[i]=(p[0],p[0]) ako je k=0, 0 za k=1 do n-1
.
Tada su w[i]>0 za i=0 do n i vrijedi
(*) Integral od -1 do 1(p(x)dx)=suma(i=1 do n)(w[i]*p(x[i])) za neki polinom p stupnja <=2*n-1.
b)Ako su brojevi w[i],x[i], i=1 do n,takvi da
Integral od -1 do 1(p(x)dx)=suma(i=1 do n)(w[i]*p(x[i])) za sve p stupnja <=2*n-1, tada su x[i] nultocke n-tog ortogonalnog polinoma p[n],a tezine zadovoljavaju relaciju (**).
c)Nije moguce odrediti brojeve x[i] i w[i],i=1 do n,
takve da (*) vrijedi za sve polinome stupnja <=2*n.

Unaprijed hvala:)[/i]

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[Ignavia]

jel ima taj dokaz mozda u onoj skripti na netu, jer ja ga ne mogu nac?

_________________
moj prostor

[Melkor]

Danas sam upravo imao usmeni i profesor me pitao Gaussove integracijske formule. Kad sam došao do toga da za točke treba odabrati nultočke n-tog ortogonalnog polinoma, pitao me znam li to dokazati, imajući na umu gore navedeni teorem.

Rekao sam da nisam uspio dokazati teorem u tom obliku, ali da bih znao to dokazati na alternativan način. Tako sam započeo razvijati Gaussovu formulu preko aproksimacije funkcije Hermiteovim interpolacijskim polinomom. Profesoru se valjda svidjelo pa mi je dao 5. A samo me to pitao.

Zato predlažem svima da, ukoliko ne uspiju dokazati teorem o kojem govori LSSD, zavire u skriptu Numerička analiza i pogledaju malo o Hermiteovom interpolacijskom polinomu, str. 346., malo o ortogonalnim polinomima, str. 413. i priču o Gaussovoj integraciji, str. 510.-515. Mislim da će profesor cijeniti što se služite i dodatnom literaturom.

Zanimljivo je i da je ovakvim pristupom dokaz sljedećeg teorema u bilježnici (o pogrešci Gaussove integracijske formule) gotovo trivijalan!

_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.

[petrich]

ukratko, sto bi trebalo znat o gauss-ovim integracijskim formulama?
jel moze netko to ukratko objasnit (za dvojku..)?

_________________
Just buzzing by 2 say hi...