Imam nekoliko pitanja!

[Gia]

Imam nekoliko pitanja,pa bi molila ako neko zna odgovor na bilo koje da napise…
1.) Primjer fje koja ima i primjer fje koja nema Lipshitzovo svojstvo.
2.) Primjer nepotpunog prostora
3.) Ako je zadana fja na sljedeci nacin-f:R2->R2
f(x,y)=(2x-1,2y+1) da li je ta fja diferencijabilna i zasto?
Jeli dif.svuda ili samo negdje?
Odredite Df(-1,7)(a,b)
4.) Ako je zadan niz Pk=(1+1\k)^k kako cemo pokazat da taj niz konvergira.
Kad pokazemo da konvergira znamo da je lim Pk=e ali kao pokazat da on konvergira?
Prof je reka o da nemozemo preko def,znam da smo taj dokaz radili na MA1 ali se vise ne sjecam…
5.) Da li pravokutnik ako za zarotiramo za 30 stupnjeva ima povrsinu i zasto?
6.) Da li je neprekidna fja na otvorenom pravokutniku R-integrabilna i zasto?
7.) Koja je razlika između uniformno neprekidnih preslikavanja i neprekidnih preslikavanja?


Eto to je to,ja sam odgovorila na njih ali nikad nisam sigurna u sebe pa bi volila cuti i tuđe misljenje…
HVALA

_________________


Gia

[defar]

1. bilo koji lin. operator je dobar primjer za fju koja ima L. svojstvo, naprimjer.
f:<0, 1] → IR, f(x):=1/x nema Lipschitzovo sv (nije ni uniformnno nepr., pa tako mos' izmislit bilo koju koja nije uniformno nepr. - nece imat ni L. sv, to je lako. )

2.) X:=<0, 1] sa stand. euklidskom metrikom (jer u njemu niz n→(1/n) ne konvergira.)
ili, ako hoces da malo mastovitije izgleda - punktirana kugla oko 0 s radijusom 1.
ili, npr., skup racionalnih brojeva iz kvadrata "oko 0", stranice duljine e.(u njem nece konvergirat ovaj tvoj nize navedeni niz)

3.) f:R2→R2
f(x,y)=(2x-1,2y+1)

diferencijabilna je na citavoj domeni, dovoljno je vidjet' da postoje sve parcijalne derivacije i da su one neprekidne na IR^2 (a redom su konstantne: 2, 0,2,0)

Odredite Df(-1,7)(a,b) - a valjda bi to bilo (2a, 2a)
( 2 0 )
( 2 0 ) * (a, b)

4.) Ako je zadan niz Pk=(1+1\k)^k kako cemo pokazat da taj niz konvergira.
Kad pokazemo da konvergira znamo da je lim Pk=e ali kao pokazat da on konvergira?

— pokazi da je to Cauchyjev niz u IR!


5.) Da li pravokutnik ako za zarotiramo za 30 stupnjeva ima povrsinu i zasto?


---- ima, bo'me, jerbo je to kompakt, mozes mu opisat pravokutnik(recimo, duplo veceg), a karakteristicna funkcija mu prekidna samo na rubu.

6.) Da li je neprekidna fja na otvorenom pravokutniku R-integrabilna i zasto?

pa, da. hm, mislim da se svodi na to da je na zatvorenom inttegrabilna, a integral po skupu mjere nula je 0, a to dvoje mozes oduzet, jerbo je integral tako lijepo aditivna fja...pogledaj malo jos u knjizi, ako si nesigurna.

7.) Koja je razlika između uniformno neprekidnih preslikavanja i neprekidnih preslikavanja?

pa, mislim! jedno je uniformno neprekidno, a drugo neprekidno!
izrekni na glas definicije, i vidi da je npr. f:<0, 1> → IR, f(x):=1/x nepr. u svakoj tocki domene, ali nije uniformno nepr.

[Ribizl]

kako pokazat da f(x)=1/x nije uniformno neprekidna? ili f(x)=x*x?
treba negirat tvrdnju iz definicije.. ali koji epsilon i koje tocke izabrat??
bilo bi super kad bi netko napisao cijelo objasnjenje koje "prolazi" na usmenom
hvala

[Ribizl]

[Mojo]

je da je staro pitanje, ali bili itko mogao napisat dokaz da 1/x nije uniformno neprekidna, zapravo izbor tocaka bi samo bio dovoljan

[vsego]

Ugrubo:

Uzmi neki epsilon > 0 i pretpostavi da imas deltu takvu da |x - y| < delta povlaci |f(x)-f(y)| < epsilon. Prema Arhimedovom axiomu, postoji n t.d. je n > 1/delta, tj. 1/n < delta, pa gledas x=1/n i y=1/m za m>n. Ocito: 0<y<x => 0<x-y<x => |x-y| < 1/n < delta, a |f(x)-f(y)| = |1/(1/n) - 1/(1/m)| = |n-m| = m-n.

Neka je m = najvece_cijelo(n + epsilon + 1) > n + epsilon, pa imas: |x-y| < delta i |f(x)-f(y)| > epsilon.

Dakle, f(x) = 1/x nije uniformno neprekidna.

Ne spada li to u MA1&2?

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Mojo]