|
1) Koliko ima prirodnih brojeva strogo manjih od (10 na n) kojima su
znamenke u neopadajućem poretku?
Oznacimo n-znamenkasti broj sa a_1 a_2 a_3 ... a_n,
gdje je a_i i-ta znamenka u tom broju.
Vrijedi a_i >= a_(i-1) (*)
Prvo se pitamo koliko ima n-znamenkastih borjeva s trazenim svojstvom.
Odgovor je, zapravo, vrlo jednostavan. Taj je broj jednak broju
n-kombinacija skupa od 9 elemenata, ali s ponavljanjem. Da obrazlozim.
Spomenuti skup od 9 elemenata nam je S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Samo elementi iz S mogu biti kandidati za neki a_i. Jasno je da 0 ne
moze biti u S. Zasto? Pa kad bismo dopustili da neki a_i bude 0, onda
bi obavezno i a_1, a_2, ..., a_(i-1) morali biti nula zbog svojstva (*).
Ali tada vise ne bismo govorili o n-znamenkastom broju.
Pogledajmo koliko ima npr. 4-znam. brojeva sa trazenim svojstom.
Kao sto sam prije rekao, taj je broj jednak broju 4-komb. iz skupa
S, ali s ponavljanjem zbog (*). Posto je svaka takva kombinacija
NEuredjena cetvorka ({2, 2, 1, 3} = {1, 2, 2, 3}), ista odgovara tocno
jednom 4-znam. broju sa svojstvom (*) pa nam je sada vidljiva bijekcija.
Dakle, npr. 5-kombinacija {9, 4, 6, 1, 4} = {1, 4, 4, 6, 9} odgovara
broju 14469. Stoga prebrojavanjem svih n-komb devetoroclanog skupa S
s ponavljanje pokupit cemo i sve n-znamenkaste brojeve sa svojstvom
(*). Elemente bilo koje takve kombinacije uvijek mozemo poredati u
neopadajucem poretku, opet je rijec o istoj kombinaciji.
Na kraju, takvih brojeva manjih od 10^n ima:
Broj 1-znamenkastih +
Broj 2-znamenkastih +
.............................
Broj n-znamenkastih.
1) Koliko ima prirodnih brojeva strogo manjih od (10 na n) kojima su
znamenke u neopadajućem poretku?
Oznacimo n-znamenkasti broj sa a_1 a_2 a_3 ... a_n,
gdje je a_i i-ta znamenka u tom broju.
Vrijedi a_i >= a_(i-1) (*)
Prvo se pitamo koliko ima n-znamenkastih borjeva s trazenim svojstvom.
Odgovor je, zapravo, vrlo jednostavan. Taj je broj jednak broju
n-kombinacija skupa od 9 elemenata, ali s ponavljanjem. Da obrazlozim.
Spomenuti skup od 9 elemenata nam je S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Samo elementi iz S mogu biti kandidati za neki a_i. Jasno je da 0 ne
moze biti u S. Zasto? Pa kad bismo dopustili da neki a_i bude 0, onda
bi obavezno i a_1, a_2, ..., a_(i-1) morali biti nula zbog svojstva (*).
Ali tada vise ne bismo govorili o n-znamenkastom broju.
Pogledajmo koliko ima npr. 4-znam. brojeva sa trazenim svojstom.
Kao sto sam prije rekao, taj je broj jednak broju 4-komb. iz skupa
S, ali s ponavljanjem zbog (*). Posto je svaka takva kombinacija
NEuredjena cetvorka ({2, 2, 1, 3} = {1, 2, 2, 3}), ista odgovara tocno
jednom 4-znam. broju sa svojstvom (*) pa nam je sada vidljiva bijekcija.
Dakle, npr. 5-kombinacija {9, 4, 6, 1, 4} = {1, 4, 4, 6, 9} odgovara
broju 14469. Stoga prebrojavanjem svih n-komb devetoroclanog skupa S
s ponavljanje pokupit cemo i sve n-znamenkaste brojeve sa svojstvom
(*). Elemente bilo koje takve kombinacije uvijek mozemo poredati u
neopadajucem poretku, opet je rijec o istoj kombinaciji.
Na kraju, takvih brojeva manjih od 10^n ima:
Broj 1-znamenkastih +
Broj 2-znamenkastih +
.............................
Broj n-znamenkastih.
|
Pregledao sam ćitavi forum i nisam nigdje našao njihova rješanje, pa bih zamolio, ako može pomoć 
Everything happens with a reason! 
