Evo i dokaza za one koje zanima.
(Nadam se da je tocan :wink: )
Treba dokazati da sve prirodne brojeve koji nisu potencija broja dva mozemo prikazati kao zbroj uzastopnih prirodnih brojeva i da nijednu potenciju broja dva ne mozemo tako prikazati.
Neka je broj n kojeg zelimo prikazati neparan, tj. oblika
n=2m-1 (m je prirodan broj)
n=(m-1)+m
pa je ocito da ga mozemo prikazati kao zbroj 2 uzastopna prirodna broja.
Za parne brojeve djeljive sa neparnim brojem k (razlicitim od 1) vrijedi:
n= ...+m+m+m+... gdje je k broj pribrojnika pa to mozemo pisati kao
n= ...+(m-1)+m+(m+1)+...
sto znaci da i ove brojeve mozemo prikazati kao zbroj k uzastopnih prirodnih brojeva.
Ostaju jos samo oni parni prirodni brojevi koji nisu djeljivi sa nijednim neparnim brojem razlicitim od 1, tj. samo potencije broja 2.
Treba jos dokazati da njih ne mozemo prikazati na zadani nacin.
Prikazimo zbroj k uzastopnih prirodnih brojeva (k>1) kao
m+(m+1)+(m+2)+...+(m+k-1)=
=km+(1+2+...+k-1)=
=km+(k(k-1))/2=
=k(m+(k-1)/2)
za neparan broj k, broj je ocito djeljiv sa k pa nije potencija od 2.
Parne brojeve k mozemo prikazati kao (2^q)z gdje je z neparan broj. Za z razlicito od 1 opet je ocito (iz istog razloga kao gore) da
z(2^q)(m+(k-1)/2)
nije potencija od 2.
Na kraju za z=1, (n=2^p) vrijedilo bi
(2^q)(m+(k-1)/2)=2^p | : (2^q)
(m+(k-1)/2)=2^(p-q)
(k je sigurno <n, tj. 2^q<2^p , q<p)
a kako je k paran (m+(k-1)/2) nije prirodan broj pa jednakost ne vrijedi, tj. broj 2^p nije moguce prikazati kao zbroj k uzastopnih prirodnih brojeva za bilo koji prirodan broj k.
)