| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
rozenheim
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 09. 2006. (16:39:45)
Postovi: (2)16
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
 Postano: 21:43 sri, 1. 11. 2006 Naslov: Re: Tenzorski produkt |
    |
|
|
[quote="rozenheim"]"Tenzorski produkt vektorskih prostora X i Y je uredjen par (T, t) gdje je T v.p. nad F, a t:XxY->T bilinearno preslikavanje sa svojstvom:
za svaki V v.p. nad F i svako bilinearno preslikavanje Psi:XxY->V postoji jedinstveno (linearno preslikavanje, operator?) fi:T->V t.d. Psi=fi o t (o = komponirano).
Da li to znaci da je i (V, Psi) tenzorski produkt v.p. X i Y ?[/quote]
Ako sam dobro shvatio, ti pitaš da li je svaki vektorski prostor [latex]V[/latex] sa blilinearnim preslikavanjem [latex]\psi : X \times Y \rightarrow V[/latex] tenzorski produkt od [latex]X[/latex] i [latex]Y[/latex]? Ako to pitaš, onda je odgovor ne.
Tenzorski produkt od [latex]X[/latex] i [latex]Y[/latex] je specijalni par par [latex](T, t)[/latex] koji zadovoljava gornje univerzalno svojstvo. Lako pokažeš da iz univerzalog svojstva slijedi da su svaka dva tenzorska produkta [latex](T,t')[/latex] i [latex](T',t')[/latex] nužno izomorfna (npr. kao vekt. prostori), pa specijalno slijedi da definicija tenzorskog produkta nije trivijalna, tj da ju ne zadovoljava svaki par [latex](V,\psi)[/latex].
| rozenheim (napisa): | "Tenzorski produkt vektorskih prostora X i Y je uredjen par (T, t) gdje je T v.p. nad F, a t:XxY→T bilinearno preslikavanje sa svojstvom:
za svaki V v.p. nad F i svako bilinearno preslikavanje Psi:XxY→V postoji jedinstveno (linearno preslikavanje, operator?) fi:T→V t.d. Psi=fi o t (o = komponirano).
Da li to znaci da je i (V, Psi) tenzorski produkt v.p. X i Y ? |
Ako sam dobro shvatio, ti pitaš da li je svaki vektorski prostor  sa blilinearnim preslikavanjem  tenzorski produkt od  i  ? Ako to pitaš, onda je odgovor ne.
Tenzorski produkt od i je specijalni par par  koji zadovoljava gornje univerzalno svojstvo. Lako pokažeš da iz univerzalog svojstva slijedi da su svaka dva tenzorska produkta  i  nužno izomorfna (npr. kao vekt. prostori), pa specijalno slijedi da definicija tenzorskog produkta nije trivijalna, tj da ju ne zadovoljava svaki par  .
|
|
| [Vrh] |
|
rozenheim
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 09. 2006. (16:39:45)
Postovi: (2)16
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: 
|
| Postano: 16:33 sri, 28. 4. 2010 Naslov: |
|
|
|
Imam problem s jednim dijelom dokaza slijedeće propozicije:
Neka su X, Y vektorski prostori, [latex]t\in X\oplus Y[/latex] i [latex]\{e_i~|~i\in I\}[/latex] baza za X, gdje je I indeksni skup. Tada postoji jedinstven konačan podskup [latex]I_0\subset I[/latex] i jedinstven skup [latex]\{y_i | i\in I_0\}\subset Y[/latex] td. je [latex]t=\sum_{i\in I_0}e_i\oplus y_i[/latex].
Dokaz: neka je [latex]\{f_j~|~j\in J\}[/latex] baza za Y. Tada je za neki konačni [latex]J_0\subset J[/latex],
[latex]\displaystyle t=\sum_{i\in I_0,~j\in J_0}\lambda_{ij}(e_i \oplus f_j)=\sum_{i\in I_0}e_i \oplus (\sum_{j\in J_0}\lambda_{ij}f_j)[/latex]
i stavimo [latex]y_i=\sum_{j\in J_0}\lambda_{ij}f_j[/latex]. Time je egzistencija dokazana.
Što se tiče jedinstvenosti, u bilješkama stoji da jedinstvenost slijedi iz slijedeće propozicije:
Neka je [latex]\{x_1,\dots,x_n\}[/latex] linearno nezavisan skup u X, te neka je [latex]\sum_{i=1}^n x_i \oplus y_i =0[/latex]. Tada je [latex]y_i=0, i=1,\dots, n[/latex] (analogno vrijedi ako x zamijenimo sa y).
Kako istovremeno time osiguravamo da su [latex]I_0[/latex] i još neki možebitni indeksni skup [latex]I_0'[/latex] jednaki i da je [latex]\{y_i | i\in I_0\}[/latex]=[latex]\{y'_i | i\in I_0'\}[/latex]?
Imam problem s jednim dijelom dokaza slijedeće propozicije:
Neka su X, Y vektorski prostori,  i  baza za X, gdje je I indeksni skup. Tada postoji jedinstven konačan podskup  i jedinstven skup  td. je  .
Dokaz: neka je  baza za Y. Tada je za neki konačni  ,
i stavimo  . Time je egzistencija dokazana.
Što se tiče jedinstvenosti, u bilješkama stoji da jedinstvenost slijedi iz slijedeće propozicije:
Neka je  linearno nezavisan skup u X, te neka je  . Tada je  (analogno vrijedi ako x zamijenimo sa y).
Kako istovremeno time osiguravamo da su  i još neki možebitni indeksni skup  jednaki i da je  = ?
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
| Postano: 4:49 čet, 29. 4. 2010 Naslov: |
|
|
|
[quote="goranm"]Imam problem s jednim dijelom dokaza slijedeće propozicije:
Neka su X, Y vektorski prostori, [latex]t\in X\oplus Y[/latex] i [latex]\{e_i~|~i\in I\}[/latex] baza za X, gdje je I indeksni skup. Tada postoji jedinstven konačan podskup [latex]I_0\subset I[/latex] i jedinstven skup [latex]\{y_i | i\in I_0\}\subset Y[/latex] td. je [latex]t=\sum_{i\in I_0}e_i\oplus y_i[/latex].
Dokaz: neka je [latex]\{f_j~|~j\in J\}[/latex] baza za Y. Tada je za neki konačni [latex]J_0\subset J[/latex],
[latex]\displaystyle t=\sum_{i\in I_0,~j\in J_0}\lambda_{ij}(e_i \oplus f_j)=\sum_{i\in I_0}e_i \oplus (\sum_{j\in J_0}\lambda_{ij}f_j)[/latex]
i stavimo [latex]y_i=\sum_{j\in J_0}\lambda_{ij}f_j[/latex]. Time je egzistencija dokazana.
Što se tiče jedinstvenosti, u bilješkama stoji da jedinstvenost slijedi iz slijedeće propozicije:
Neka je [latex]\{x_1,\dots,x_n\}[/latex] linearno nezavisan skup u X, te neka je [latex]\sum_{i=1}^n x_i \oplus y_i =0[/latex]. Tada je [latex]y_i=0, i=1,\dots, n[/latex] (analogno vrijedi ako x zamijenimo sa y).
Kako istovremeno time osiguravamo da su [latex]I_0[/latex] i još neki možebitni indeksni skup [latex]I_0'[/latex] jednaki i da je [latex]\{y_i | i\in I_0\}[/latex]=[latex]\{y'_i | i\in I_0'\}[/latex]?[/quote]
[latex] I_{0}, I_0'[/latex] su podskupovi skupa I, koji je linearno nezavisan. Ako se t moze napisati na dva nacina, kao [latex]t=\sum_{i\in I_0}e_i \otimes y_{i}=\sum_{i\in I_0'}e_i \otimes y'_{i}[/latex], onda prebacivanjem svega na istu stranu (tj pisanjem t-t=0) i koristenjem ovve tvrdnje koju si napisao dobijes da je koeficijent od t-t uz svaki e_{i} iz I_{0}UI'_{0} jednak nula. Dakle, ako se i pojavljuje samo u I_{0} a ne u I'_{0}, onda je y_{i}=0, pa ga mozemo izbaciti. Isto tako ako se pojavljuje samo u I'_{0}. Dakle, wlog I_{0}=I'_{0}. Nakon toga slijedi da je koeficijent uz svaki e_{i} takav da se i pojavljuje u I_{0} i u I'_{0} jednak nula, tj y_{i}-y'_{i}=0.
| goranm (napisa): | Imam problem s jednim dijelom dokaza slijedeće propozicije:
Neka su X, Y vektorski prostori, i baza za X, gdje je I indeksni skup. Tada postoji jedinstven konačan podskup i jedinstven skup td. je .
Dokaz: neka je baza za Y. Tada je za neki konačni ,
i stavimo . Time je egzistencija dokazana.
Što se tiče jedinstvenosti, u bilješkama stoji da jedinstvenost slijedi iz slijedeće propozicije:
Neka je linearno nezavisan skup u X, te neka je . Tada je (analogno vrijedi ako x zamijenimo sa y).
Kako istovremeno time osiguravamo da su i još neki možebitni indeksni skup jednaki i da je =? |
 su podskupovi skupa I, koji je linearno nezavisan. Ako se t moze napisati na dva nacina, kao  , onda prebacivanjem svega na istu stranu (tj pisanjem t-t=0) i koristenjem ovve tvrdnje koju si napisao dobijes da je koeficijent od t-t uz svaki e_{i} iz I_{0}UI'_{0} jednak nula. Dakle, ako se i pojavljuje samo u I_{0} a ne u I'_{0}, onda je y_{i}=0, pa ga mozemo izbaciti. Isto tako ako se pojavljuje samo u I'_{0}. Dakle, wlog I_{0}=I'_{0}. Nakon toga slijedi da je koeficijent uz svaki e_{i} takav da se i pojavljuje u I_{0} i u I'_{0} jednak nula, tj y_{i}-y'_{i}=0.
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
| [Vrh] |
|
|
