Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Integrali... puno integrala...
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30
PostPostano: 15:22 sub, 18. 11. 2006    Naslov: Integrali... puno integrala... Citirajte i odgovorite
Treba pokazati ;

[latex]\displaystyle x^n ~ln{x} ~|_{0}^{1} = 0 [/latex] gdje je [latex]n\in \mathbf{N}[/latex] ,dakle integral od 0 do 1.Bilo bi super ukoliko bi dali i objasnjenje zasto je to 0.
Treba pokazati ;

gdje je ,dakle integral od 0 do 1.Bilo bi super ukoliko bi dali i objasnjenje zasto je to 0.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
PostPostano: 16:31 sub, 18. 11. 2006    Naslov: Re: Pitanje Citirajte i odgovorite
[quote="Mr.Doe"]Treba pokazati ;

[latex]\displaystyle x^n ~ln{x} ~|_{0}^{1} = 0 [/latex] gdje je [latex]n\in \mathbf{N}[/latex] ,dakle integral od 0 do 1.Bilo bi super ukoliko bi dali i objasnjenje zasto je to 0.[/quote]
Pretopstavljam da mislis [latex]\int_0^1 x^n \ln x dx[/latex].

Uglavnom, za [latex]n \not= 1[/latex] vrijedi
[latex]\displaystyle
\int x^n \ln x dx = x^{n+1} \left( \frac{\ln x}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)
[/latex] (ovo se moze lagano dobiti parcijalnom integracijom)

Prema tome je
[latex]\displaystyle
\int_0^1 x^n \ln x dx = \lim_{a\to 0} \int_a^1 x^n \ln x dx =
\lim_{a\to 0} \left. \left[x^{n+1} \left( \frac{\ln x}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \right] \right|_a^1 =
[/latex]
[latex]
= \lim_{a\to 0} \left[
\left( 1^{n+1} \left( \frac{\ln 1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \right)-
\left( a^{n+1} \left( \frac{\ln a}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \right)
\right]
[/latex]

Sada je jedini (netrivijalni) posao odradjivanje limesa [latex]\lim_{a\to 0} (a^{n+1} \ln a)[/latex], no kada se to zapise u obliku
[latex]\displaystyle
\lim_{a\to 0} \frac{\ln a}{\frac{1}{a^{n+1}}}
[/latex]
primjenom L'Hospitalovog pravila lako se vidi da je [latex]\lim_{a\to 0} (a^{n+1} \ln a) = 0[/latex] (za [latex]n \in \mathbb{N} [/latex])

Sada vidimo:
[latex]
\lim_{a\to 0} \left[
\left( 1^{n+1} \left( \frac{\ln 1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \right)-
\left( a^{n+1} \left( \frac{\ln a}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \right)
\right] =
[/latex]
[latex]
= - \frac{1}{(n+1)^2} - \left( \frac{0}{n+1} - \frac{0}{(n+1)^2} \right) =
- \frac{1}{(n+1)^2}
[/latex]

Dakle, trazeni integral nije jednak nuli :)

Slucaj [latex]n=1[/latex] vjerojatno mozes raspetljati i sam.
Mr.Doe (napisa):
Treba pokazati ;

gdje je ,dakle integral od 0 do 1.Bilo bi super ukoliko bi dali i objasnjenje zasto je to 0.

Pretopstavljam da mislis .

Uglavnom, za vrijedi
(ovo se moze lagano dobiti parcijalnom integracijom)

Prema tome je



Sada je jedini (netrivijalni) posao odradjivanje limesa , no kada se to zapise u obliku

primjenom L'Hospitalovog pravila lako se vidi da je (za )

Sada vidimo:



Dakle, trazeni integral nije jednak nuli Smile

Slucaj vjerojatno mozes raspetljati i sam.



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30
PostPostano: 18:26 sub, 18. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Tocno! Upravo sam to trazio ,naime radilo se o integralu ,
[latex]\int_{0}^{1}{lnx*ln(1-x)dx}[/latex], te prilikom rjesavanja
dosao sam do [latex]\int_{0}^{1}{x^n*lnxdx}[/latex] pa mi je trebao spomenuti rezultat.

(Tocno je da navedeni integral nije jednak nuli,no za rjesavanja zadatka mi je bilo potrebno da pokazem da je "prvi" dio jednak nuli,zato sam napisao integral pripadne primitivne fije u granicama 0 ,1 )
Tocno! Upravo sam to trazio ,naime radilo se o integralu ,
, te prilikom rjesavanja
dosao sam do pa mi je trebao spomenuti rezultat.

(Tocno je da navedeni integral nije jednak nuli,no za rjesavanja zadatka mi je bilo potrebno da pokazem da je "prvi" dio jednak nuli,zato sam napisao integral pripadne primitivne fije u granicama 0 ,1 )




Zadnja promjena: Mr.Doe; 17:33 ned, 19. 11. 2006; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30
PostPostano: 17:21 ned, 19. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Izracunajte [latex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ln({\frac{1}{2} sin{2x}})}dx[/latex] . (to je "navodno" jednako [latex]\frac{\pi}{2}ln{2}[/latex])
Izracunajte . (to je "navodno" jednako )


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
PostPostano: 17:35 ned, 19. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Mr.Doe"]Izracunajte [latex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ln({\frac{1}{2} sin{2x}})}dx[/latex] .[/quote]
Postupak rjesavanja je potpuno isti kao i gore, dakle, treba rijesiti [latex]
\lim_{a\to 0} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}}{ln({\frac{1}{2}sin{2x}})}dx
[/latex]

[i]Tip za rjesavanje integrala:[/i] Kako izgleda derivacija funkcije [latex]
x \mapsto {ln({\frac{1}{2}sin{2x}})} [/latex] ?
Mr.Doe (napisa):
Izracunajte .

Postupak rjesavanja je potpuno isti kao i gore, dakle, treba rijesiti

Tip za rjesavanje integrala: Kako izgleda derivacija funkcije ?



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30
PostPostano: 10:30 pon, 20. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Bas i nisam shvatio sto si htio reci... :?

Dakle zadatak je bio
[latex] I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{sin{x}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{sin(\frac{\pi}{2}-x})dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{cos{x}}dx=I[/latex]
Odavde dobijem [latex] 2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx+cosx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{\frac{1}{2}sin{2x}}dx[/latex]

[latex]=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{2}dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{2}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{\frac{1}{2}sin{2x}}dx=-{\frac{\pi}{2}}*ln2+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln{sin2x}dx[/latex].Napravim jos zamjenu varijabli,no nazalost sam onda stao.
Bas i nisam shvatio sto si htio reci... Confused

Dakle zadatak je bio

Odavde dobijem

.Napravim jos zamjenu varijabli,no nazalost sam onda stao.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
PostPostano: 13:32 pon, 20. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Mr.Doe"]Bas i nisam shvatio sto si htio reci... :?
[/quote]
Htio sam reci da primjenis parcijalnu integraciju.


[quote="Mr.Doe"]
[latex] \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\sin{x}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\sin(\frac{\pi}{2}-x})dx[/latex]
[/quote]
:grebgreb: Meni se cini da ovo ne valja.
Mr.Doe (napisa):
Bas i nisam shvatio sto si htio reci... Confused

Htio sam reci da primjenis parcijalnu integraciju.


Mr.Doe (napisa):



Kotacici rade 100 na sat Meni se cini da ovo ne valja.



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30
PostPostano: 15:18 pon, 20. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="mdoko"][quote="Mr.Doe"]Bas i nisam shvatio sto si htio reci... :?
[/quote]
Htio sam reci da primjenis parcijalnu integraciju.


[quote="Mr.Doe"]
[latex] \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\sin{x}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\sin(\frac{\pi}{2}-x})dx[/latex]
[/quote]
:grebgreb: Meni se cini da ovo ne valja.[/quote]

Zasto mislis tako??

To sam htio ponovno primijeniti,naime imam ,sa zamjenom varijabli u:=2x
[latex]\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}ln(sinu)du[/latex] ,pa onda ponovno [latex]sinu=sin(\pi-u)[/latex] dobivam. [latex]\int_{0}^{\pi}ln(sinu)du=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sinu)du[/latex]
pa kao rezultat dobivam [latex]2I=-\frac{\pi}{2}ln2 +I [/latex]
mdoko (napisa):
Mr.Doe (napisa):
Bas i nisam shvatio sto si htio reci... Confused

Htio sam reci da primjenis parcijalnu integraciju.


Mr.Doe (napisa):



Kotacici rade 100 na sat Meni se cini da ovo ne valja.


Zasto mislis tako??

To sam htio ponovno primijeniti,naime imam ,sa zamjenom varijabli u:=2x
,pa onda ponovno dobivam.
pa kao rezultat dobivam


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
PostPostano: 18:19 pon, 20. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Upravo smo venovako i ja malo vremena utrosili na raspisivanje i rasvjetljavanje ovoga cuda i evo sto smo shvatili.

Kao prvo - zadatak glasi: Odrediti integral [latex]I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\sin{x}}dx[/latex]

Nakon toga uocimo (:oops:) da stvarno vrijedi [latex]I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\sin(\frac{\pi}{2}-x})dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\cos{x}}dx[/latex]

Jednostavnom manipulacijom dobijemo
[latex]2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x\cdot\cos x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\frac{1}{2}\sin{2x}}dx=
[/latex]
[latex]
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin 2xdx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln 2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin 2xdx-\frac{\pi}{2}\ln 2[/latex]

Nadalje, [latex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin 2xdx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\ln\sin xdx=\frac{1}{2}2I=I[/latex]

Sada je ocito [latex]I=-\frac{\pi}{2}\ln 2[/latex]

Sto hoce reci da si ti korektno rijesio zadatak, a ja krenuo u potpuno krivom smjeru pokusavajuvci naci primitivnu funkciju.
Upravo smo venovako i ja malo vremena utrosili na raspisivanje i rasvjetljavanje ovoga cuda i evo sto smo shvatili.

Kao prvo - zadatak glasi: Odrediti integral

Nakon toga uocimo (Embarassed) da stvarno vrijedi

Jednostavnom manipulacijom dobijemo



Nadalje,

Sada je ocito

Sto hoce reci da si ti korektno rijesio zadatak, a ja krenuo u potpuno krivom smjeru pokusavajuvci naci primitivnu funkciju.



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30
PostPostano: 14:34 uto, 21. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Evo novi problem, promatramo
[latex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}=[/latex]L`Hospitalovo pravilo[latex]\displaystyle=\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}}=\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}=[/latex] ponovno L`Hospitalovo pravilo [latex]=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{1}}=\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}[/latex]

:?

te ,nadite (ukoliko postoji) [latex]\lim_{n\rightarrow \infty} {\sin{(1+\sin{(2 + \sin{(3+ \dots \sin{((n+1) +\sin{n})})\dots })})}}[/latex]
Evo novi problem, promatramo
L`Hospitalovo pravilo ponovno L`Hospitalovo pravilo

Confused

te ,nadite (ukoliko postoji)


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
PostPostano: 19:57 uto, 21. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
[latex]\displaystyle \lim_{x\to\infty}{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}=
\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}=
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}
=1
[/latex]
L'Hospital nije uvijek (najednostavniji) odgovor :wink:

Za ono sa sinusima mi trenutacno nista ne pada na pamet.

L'Hospital nije uvijek (najednostavniji) odgovor Wink

Za ono sa sinusima mi trenutacno nista ne pada na pamet.



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30
PostPostano: 20:24 uto, 21. 11. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="mdoko"][latex]\displaystyle \lim_{x\to\infty}{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}=
\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}=
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}
=1
[/latex]
L'Hospital nije uvijek (najednostavniji) odgovor :wink:

[/quote]

Dakako! Htio sam ukazati na zanimljiv primjer upotrebe L`Hopitalovog pravila.
mdoko (napisa):

L'Hospital nije uvijek (najednostavniji) odgovor Wink



Dakako! Htio sam ukazati na zanimljiv primjer upotrebe L`Hopitalovog pravila.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30
PostPostano: 22:07 pon, 27. 11. 2006    Naslov: limes Citirajte i odgovorite
Nadite limes

[latex] [\log{(1+\frac{1}{n^2})} + \dots +\log{(1+\frac{n}{n^2})}][/latex]
Nadite limes



[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan