| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
 Postano: 17:10 ned, 14. 1. 2007 Naslov: diferencijabilnost |
    |
|
|
U realnom slučaju vrijedila je sljedeća karakterizacija diferencijabilnosti u točki:
Neka je [latex]f:I \to {\bf R}[/latex] funkcija. Tada je [latex]f[/latex] derivabilna u [latex]c[/latex] akko postoje [latex]A \in {\bf R}[/latex] i [latex]\omega :I \to {\bf R}[/latex] takva da [latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \omega \left( {x - c} \right) = 0[/latex] takvi da je [latex]f\left( x \right) - f\left( c \right) = A \cdot \left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right) \cdot \omega \left( {x - c} \right),\forall x \in I[/latex]. Štoviše, tada je [latex]f'\left( c \right) = A[/latex].
E sada, uzimajući u obzir tu karakterizaciju i ono što je asistentica Hanzer rekla na vježbama: Funkcija je diferencijabilna u c pa možemo napisati [latex]f\left( x \right) - f\left( c \right) = ''{\rm nesto linearno'' + ''nesto malo''}[/latex], zanima me što bi formalno bilo to "nešto malo", a za ovo nešto linearno mi se čini dosta jasno da je to diferencijal od f u c.
U realnom slučaju vrijedila je sljedeća karakterizacija diferencijabilnosti u točki:
Neka je  funkcija. Tada je  derivabilna u  akko postoje  i  takva da  takvi da je  . Štoviše, tada je  .
E sada, uzimajući u obzir tu karakterizaciju i ono što je asistentica Hanzer rekla na vježbama: Funkcija je diferencijabilna u c pa možemo napisati  , zanima me što bi formalno bilo to "nešto malo", a za ovo nešto linearno mi se čini dosta jasno da je to diferencijal od f u c.
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
Zadnja promjena: alen; 22:05 ned, 14. 1. 2007; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: 
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
nana
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 11. 2005. (12:24:35)
Postovi: (2AD)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
nana
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 11. 2005. (12:24:35)
Postovi: (2AD)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 16:32 sub, 27. 1. 2007 Naslov: |
|
|
|
Evo, još jedan koristan dokaz, za ograničenost linearnog operatora (Dokaz®©™ is trademark or registered trademark of Nana):
Neka je [latex]L:{\bf R}^{\bf n} \to {\bf R}^{\bf m}[/latex] linearan operator. Tada je ograničen, odnosno [latex]\left( {\exists M > 0} \right)\left( {\forall x \in {\bf R}^{\bf n} } \right)\left( {\left\| {Lx} \right\| \le M\left\| x \right\|} \right)[/latex].
Dokaz:
[latex]{\bf R}^{\bf n}[/latex] ima bazu, uzmimo kanonsku, [latex]x \in {\bf R}^{\bf n}[/latex] se može na jedinstven način prikazati kao [latex]x = \sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i {\bf e}_i } \Rightarrow \left\| {Ax} \right\| = \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i A{\bf e}_i } } \right\| \le \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {\lambda _i } \right|\left\| {A{\bf e}_i } \right\|}[/latex]. Definiramo [latex]M': = \max \left\{ {\left\| {A{\bf e}_i } \right\|,i = 1...n} \right\}[/latex]. Sada imamo [latex]\left\| {Ax} \right\| \le M'\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {\lambda _i } \right|} \le M'\sum\limits_{i = 1}^n {\left\| x \right\|_\infty } \le M'n\left\| x \right\|_\infty[/latex], a zbog ekvivalencije normi na [latex]{\bf R}^{\bf n}[/latex] slijedi da postoji [latex]M[/latex] takav da je [latex]\left\| {Ax} \right\| \le M\left\| x \right\|,\forall x \in {\bf R}^{\bf n}[/latex]
Evo, još jedan koristan dokaz, za ograničenost linearnog operatora (Dokaz®©™ is trademark or registered trademark of Nana):
Neka je  linearan operator. Tada je ograničen, odnosno  .
Dokaz:
 ima bazu, uzmimo kanonsku,  se može na jedinstven način prikazati kao  . Definiramo  . Sada imamo  , a zbog ekvivalencije normi na slijedi da postoji  takav da je 
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
Zadnja promjena: alen; 13:21 ned, 28. 1. 2007; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
| [Vrh] |
|
Ignavia
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 10. 2004. (19:22:39)
Postovi: (235)16
Spol:
Lokacija: prijestolnica
|
|
| [Vrh] |
|
nana
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 11. 2005. (12:24:35)
Postovi: (2AD)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 13:30 ned, 28. 1. 2007 Naslov: |
|
|
|
Ajoj kolegice, ispričavam se, nisam znao da niste definirali normu operatora. Evo, [url]http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_norm[/url], nadam se da će vam ovo pomoći. A ako mi ne vjerujete da je definicija dobra, dokažite da jest sami za zadaću (kak je tp znao reć, faca).
Ajoj kolegice, ispričavam se, nisam znao da niste definirali normu operatora. Evo, http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_norm, nadam se da će vam ovo pomoći. A ako mi ne vjerujete da je definicija dobra, dokažite da jest sami za zadaću (kak je tp znao reć, faca).
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
| [Vrh] |
|
|
rjesila sve zadatke tako da se necu upustat u provjeravanje tvog 
ispustio si normu. 
