Zadatak sa roka 18.9.2006.?

[LSSD]

Moze li mi netko rijesiti cetvrti zadatak sa ovog roka?
Hvala:)

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[Gost]

Ako se priznaje 'geometrijaski dokaz', onda moze ovako:

Pretpostavi suprotno, i uzmi npr. prugu u R2+ (od 0 do 1) za P. Za vektore z oblika (0, 1) rjesenje ocito postoji, no ono ne postoji za svaki z. Ako pogledas bilo koji 'kosi vektor' z, npr. (1, 1), onda ocito za svaku tocku x1 iz P postoji tocka x2 iz P t.d. je ort. projekcija od x1 na z bliza ishodistu od ort. projekcije tocke x2 na z, (a za rj. znamo da je najudaljenija projekcija na z od ishodista) sto znaci da za taj z ne postoji rj., =><=

[markov]

Ako za vektor z uzmemo e_i (i-ti vektor kanonske baze) onda je
upravo jednak x_i (i-ta komponenta u kanonskoj bazi). Dakle, postoji maksimum skupa (označimo ga s M_i)
.
Isti zaključak vrijedi i za -x_i (ako za z uzmemo -e_i). Dakle, postoje
konstante m_i i M_i takve da za svaki vrijedi .
Kako ovo vrijedi za proizvoljan i, zaključujemo da je sadržan u paralelepipedu , pa je posebno i ograničen
skup.

Drugo rješenje:
Koristimo dekompoziciju poliedarskog skupa na konveksni politop T i konačno generirani konus C: .
Pritom, će biti ograničen ako i samo ako C sadrži samo nulvektor.

Kad bi C sadržavao nenul vektor y, tada bi x:=p+ty bio sadržan u , za točku (bilo koju) i proizvoljan . No, tada je što je neograničeno odozgo za , što daje kontradikciju (staviti y namjesto z u tekstu zadatka). Dakle, C se sastoji samo od nulvektora pa je ograničen.

_________________
Marko Vrdoljak

[Gost]

A moze li netko rijesiti i zad 2. sa roka 6.9.2006.?