|
O, pa zar te stvari nisu još jasne? To je bilo i jedno od pitanja u prvom kolokviju. Vidim da će trebati malo pritegnuti na usmenom o tim detaljima :twisted:
Gledajte, to što je pridruživanje "operator ---> matrica" (po poznatom pravilu) izomorfizam prostora operatora, recimo L(V,W) na prostor
matrica odgovarajućeg tipa (m = dim W , n = dim V), samo po sebi ne znači da će za operator f i pridruženu matricu, zovimo je A, vrijediti r(f) = r(A).
Stvar je u tome kako je pridruživanje uspostavljeno, a pritom još dolazi do izražaja izomorfizam prostora W i prostora jednostupčanih matrica tipa (m,1).
Ako je (e1,...,en) izabrana baza prostora V, stupci matrice A zapravo su vektori f(e1),..., f(en) (tj. m-torke njihovih koeficijenata u izabranoj bazi prostora W).
Oni čine sustav izvodnica potprostora S(f) < W.
Po definiciji, r(f) = dim S(f).
S druge strane, r(A) je po definiciji dimenzija potprostora razapetog stupcima matrice A - u prostoru jednostupčanih matrica tipa (m.1).
Baza potprostora S(f) je maksimalni lin. nezavisni podskup od
f(e1),..., f(en) i očito je u bijekciji s maksimalnim lin. nezavisnim podskupom stupaca matrice A, jer se "sve" prenosi spomenutim izomorfizmom. (Linearnoj kombinaciji vektora u S(f) odgovara linearna kombinacija stupaca matrice A, s jednakim koeficijentima).
O, pa zar te stvari nisu još jasne? To je bilo i jedno od pitanja u prvom kolokviju. Vidim da će trebati malo pritegnuti na usmenom o tim detaljima 
Gledajte, to što je pridruživanje "operator ---> matrica" (po poznatom pravilu) izomorfizam prostora operatora, recimo L(V,W) na prostor
matrica odgovarajućeg tipa (m = dim W , n = dim V), samo po sebi ne znači da će za operator f i pridruženu matricu, zovimo je A, vrijediti r(f) = r(A).
Stvar je u tome kako je pridruživanje uspostavljeno, a pritom još dolazi do izražaja izomorfizam prostora W i prostora jednostupčanih matrica tipa (m,1).
Ako je (e1,...,en) izabrana baza prostora V, stupci matrice A zapravo su vektori f(e1),..., f(en) (tj. m-torke njihovih koeficijenata u izabranoj bazi prostora W).
Oni čine sustav izvodnica potprostora S(f) < W.
Po definiciji, r(f) = dim S(f).
S druge strane, r(A) je po definiciji dimenzija potprostora razapetog stupcima matrice A - u prostoru jednostupčanih matrica tipa (m.1).
Baza potprostora S(f) je maksimalni lin. nezavisni podskup od
f(e1),..., f(en) i očito je u bijekciji s maksimalnim lin. nezavisnim podskupom stupaca matrice A, jer se "sve" prenosi spomenutim izomorfizmom. (Linearnoj kombinaciji vektora u S(f) odgovara linearna kombinacija stupaca matrice A, s jednakim koeficijentima).
|
