Da bismo dokazali da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiv skup, krećemo s dokazivanjem sljedeće propozicije:
[b]Prop.[/b] Prebrojiva unija konačnih, u parovima disjunktnih skupova je konačan ili prebrojiv skup.
Dokaz je krajnje jednostavan, ali čini mi se da u njemu koristimo aksiom izbora, iako je profesor na predavanju rekao suprotno. (A i u skripti se propozicija dokaže prije navođenja aksioma izbora.)
Naime, ovako ide dokaz:
Neka je [latex]\{B_k : k\in\mathbb{N}\}[/latex] familija konačnih, u parovima disjunktinih skupova.
[color=red]Za [latex]k\in\mathbb{N}[/latex], neka je [latex]f_k\colon B_k\rightarrow \{1,\ldots,k(B_k)\}[/latex] proizvoljna bijekcija.[/color]
E, tu je profesor naveo da ovdje ne koristimo AC. Jasno mi je da ne koristimo AC kad biramo tu jednu proizvoljnu bijekciju. Ali nismo li koristili AC pri izboru svih tih bijekcija za svaki k?
Nastavak dokaza:
Definiramo [latex]f\colon \bigcup\{B_k:k\in\mathbb{N}\}\rightarrow\mathbb{N}[/latex]:
[latex]\displaystyle f(x):=\sum_{k<k_x}k(B_k)+f_{k_x}(x)[/latex]
gdje je [latex]k_x[/latex] indeks za koji je [latex]x\in B_{k_x}[/latex].
Definirana funkcija je bijekcija.
Da bismo dokazali da je prebrojiva unija prebrojivih skupova prebrojiv skup, krećemo s dokazivanjem sljedeće propozicije:
Prop. Prebrojiva unija konačnih, u parovima disjunktnih skupova je konačan ili prebrojiv skup.
Dokaz je krajnje jednostavan, ali čini mi se da u njemu koristimo aksiom izbora, iako je profesor na predavanju rekao suprotno. (A i u skripti se propozicija dokaže prije navođenja aksioma izbora.)
Naime, ovako ide dokaz:
Neka je 
familija konačnih, u parovima disjunktinih skupova.
Za 
, neka je 
proizvoljna bijekcija.
E, tu je profesor naveo da ovdje ne koristimo AC. Jasno mi je da ne koristimo AC kad biramo tu jednu proizvoljnu bijekciju. Ali nismo li koristili AC pri izboru svih tih bijekcija za svaki k?
Nastavak dokaza:
Definiramo 
:
gdje je 
indeks za koji je 
.
Definirana funkcija je bijekcija.
_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
