Matrica A regularna akko je adjunkta te matrice regularna

[Chvarak]

Da li je moguce naci nekoga tako dobre volje da dokaze ovu tvrdnju!

_________________
...Visita Interiora Terrae Rectificando Invenies Occultum Lapidem...

[Gost]

Primijenite Binet-Cauchyjev teorem na realciju

A * A~ = det A * I

(A~ znači adjunkta matrice A).

[Gost]

Prethodni savjet dobar je za jedan smjer, tj. ako je A regularna onda
je det A različita od 0 pa je tada det A~ = (det A)^(n-1) također različito od 0.
No, ako je A~ regularna, ne vidi se na taj način da je i A regularna.
Pretpostavimo da je A singularna. Tada je A * A~ = O, dok je
rang produkta matrice A s regularnom matricom jednak rangu matrice A. Morala bi A imati rang 0, ali tada je A = O i naravno A~ = O, suprotno pretpostavci.

[Gost]

A~ je adjunkta, E- jedinicna matrica

A~ je regularna matrica ⇒ (A~)^-1 je inverz
pretpostavimo da je
det(A~)= 0

tada bi bilo
(A~) * (A~)^-1= E ⇒ det [(A~) * (A~)^-1]= detE

Binet- Cauchy kaze
det(A~) * det[(A~)^-1]= 1

0 * det[(A~)^-1]= 1
kontradikcija!!




drugi smjer:
detA!=0

propozicija
(A~) * A= A * (A~)= (detA) * E

mnozenjem s (detA)^-1 dobivamo
(A~) * [(detA)^-1 * A]= [(detA)^-1 * A] * (A~)= E

sto pokazuje da jednadzba (A~) * X= X * (A~)= E ima rjesenje te to povlaci da je (A~) regularna

i to je to... ako sam nesto pogrijesila, sorry

[Gost]

U prethodnom postu (od 23:32) prvi dio ne valja - iz pretpostavke da je adjunkta regularna treba dokazati da je i sama matrica A regularna, a to nije učinjeno.

[ivanzub]

da li netko moze ispraviti sto je krivo?jer meni to bar i nije jasno.

[nymeria]

znaci, prvi smjer, tj. ako je A regularna, det A je razlicito od 0

ako je A regularna, ima inverz:
A*A^-1 = I

primjenimo Binet-Cauchyja:
det A * det A^-1 = 1

iz ovog slijedi da det A ne moze biti 0.


ups, ovo nije za ono sto se trazilo, sori...