|
[latex]\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(x-1)\cos(2x)}{x^2-4x+5}dx=\mathbf{Re}(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(z-1)e^{2zi}}{z^2-4z+5}dz)[/latex]
Dakle,jesu ekvivalentni. Singulariteti su [latex]2+i,2-i[/latex] ,pa je integral jednak [latex]Re(\int f(z) dz )=Re(2\pi i (Res(f,2+i)+Res(f,2-i)))[/latex]
Residuume sam izracunaj. :wink:
Edit:Budem malo pojasnio kako se racunamo integral.
Dakle imamo [latex]I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(x-1)\cos(2x)}{x^2-4x+5}dx=\int_{-\infty}^{\infty}Re(\frac{(z-1)e^{2zi}}{z^2-4z+5}dz)=Re(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(z-1)e^{2zi}}{z^2-4z+5}dz)[/latex].
Promotrimo nasu funkciju [latex]f(z):=\frac{(z-1)e^{2zi}}{z^2-4z+5}[/latex].Njezini singulariteti su [latex]z_{1}=2+i,z_2=2-i[/latex],odnosno nultocke nazivnika. Sada promotrimo nas integral ,te imamo [latex]\displaystyle \int_{-R}^{R}f(z)dz+\int_{\gamma _R}f(z)ds=\int_{\Gamma _R}f(z)dz ~~/\lim_{R\rightarrow +\infty}[/latex] ,pritom je [latex]\Gamma_R=\gamma _R \bigcup [-R,R][/latex], (gornja) polukruznica radijusa R oko nule. . Dakle,dobivamo
[latex]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz=\lim_{R\rightarrow +\infty}\int_{\Gamma_R}f(z)dz-\lim_{R\rightarrow +\infty}\int_{\gamma_R}f(z)dz.[/latex]
Po teoremu o reziduumima ,dobivamo [latex]\displaystyle \int_{\Gamma_R}fdz=2\pi i(\sum_k Res(f,z_k)).[/latex] ,pritom promatras samo singularitete koji su unutar [latex]\Gamma_R[/latex]. Preko Jordanove leme pokazes da je drugi dio jedank nuli i gotov si. Reziduume najlakse dobijes ;[latex]\displaystyle Res(f,z_k)=\lim_{z\rightarrow z_k}(z-z_k)f(z)[/latex] ,buduci da imas samo polove prvog reda.
Dakle,jesu ekvivalentni. Singulariteti su  ,pa je integral jednak 
Residuume sam izracunaj. 
Edit:Budem malo pojasnio kako se racunamo integral.
Dakle imamo  .
Promotrimo nasu funkciju  .Njezini singulariteti su  ,odnosno nultocke nazivnika. Sada promotrimo nas integral ,te imamo  ,pritom je  , (gornja) polukruznica radijusa R oko nule. . Dakle,dobivamo
Po teoremu o reziduumima ,dobivamo  ,pritom promatras samo singularitete koji su unutar  . Preko Jordanove leme pokazes da je drugi dio jedank nuli i gotov si. Reziduume najlakse dobijes ; ,buduci da imas samo polove prvog reda.
|
