|
...koji glasi: imamo tri linearna operatora, F, G i H iz L(R^3, R^2), zadane formulama F(x, y, z) = (2x+z, x+y) ; G(x, y, z) = (2y, x) ; H(x, y, z) = (x+y+z, x+y). Treba dokazati da si F, G i H linearno nezavisni operatori.
Dakle, aF + bG + cH = 0, odnosno (aF + bG + cH)(x, y, z) = 0(x, y, z), gdje su a, b, c skalari. E sad, kad se to lijepo raspiše, dobije se sustav koji glasi ovako:
a(2x+z) + 2by + c(x+y+z) = 0
a(x+y) + bx + c(x+y) = 0
Mora vrijediti za svaki x, y, z iz R, tj. za svaku uređenu trojku (x, y, z) iz R^3. E sad, koliko je meni "logično", to znači da ako su operatori nezavisni, onda za proizvoljne x, y, z, nakon uvrštavanja u gornji sustav, moramo dobiti trivijalno rješenje, tj. a = b = c = 0, ali ne znam kako, budući da se dobiju dvije jednadžbe s tri nepoznanice a, b i c, a takav sustav ima parametarsko rješenje! Na vježbama je uvršteno x = 1, y = 0, z = 0, dobiven je sustav
2a + c = 0
a + b + c = 0,
i u bilješkama mi piše da iz toga slijedi b = 0 :shock:. Nadalje, uvršteno je i x = 0, y = 1, z = 0, dobiven je opet sustav od 2 jedn. s 3 nep. i piše a = c = 0. Nije mi jasno kako se došlo do toga, pa ako ima neka dobra duša voljna pomoći, bio bi zahvalan. :wink:
...koji glasi: imamo tri linearna operatora, F, G i H iz L(R^3, R^2), zadane formulama F(x, y, z) = (2x+z, x+y) ; G(x, y, z) = (2y, x) ; H(x, y, z) = (x+y+z, x+y). Treba dokazati da si F, G i H linearno nezavisni operatori.
Dakle, aF + bG + cH = 0, odnosno (aF + bG + cH)(x, y, z) = 0(x, y, z), gdje su a, b, c skalari. E sad, kad se to lijepo raspiše, dobije se sustav koji glasi ovako:
a(2x+z) + 2by + c(x+y+z) = 0
a(x+y) + bx + c(x+y) = 0
Mora vrijediti za svaki x, y, z iz R, tj. za svaku uređenu trojku (x, y, z) iz R^3. E sad, koliko je meni "logično", to znači da ako su operatori nezavisni, onda za proizvoljne x, y, z, nakon uvrštavanja u gornji sustav, moramo dobiti trivijalno rješenje, tj. a = b = c = 0, ali ne znam kako, budući da se dobiju dvije jednadžbe s tri nepoznanice a, b i c, a takav sustav ima parametarsko rješenje! Na vježbama je uvršteno x = 1, y = 0, z = 0, dobiven je sustav
2a + c = 0
a + b + c = 0,
i u bilješkama mi piše da iz toga slijedi b = 0  . Nadalje, uvršteno je i x = 0, y = 1, z = 0, dobiven je opet sustav od 2 jedn. s 3 nep. i piše a = c = 0. Nije mi jasno kako se došlo do toga, pa ako ima neka dobra duša voljna pomoći, bio bi zahvalan. 
|
