Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
nana Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 11. 2005. (12:24:35) Postovi: (2AD)16
Spol:
|
Postano: 9:02 pet, 20. 4. 2007 Naslov: Zadaci s predavanja |
|
|
T: Funkcija invertiranja da je homo.
[latex] I(xy)=(xy)^-^1=y^-^1 x^-^1 = I(y)I(x) [/latex]
I sad jel bitno kakvim poretkom dobijem ove? jer koliko sam shvatila trebam dobit I(x)I(y)
(*)Nije mi jasno na sto se misli u ZAD5: Dokazi da su sa nZ dane sve, [color=red]u parovima medjusobno neizomorfne [/color]podgpe od (Z,+).
(Ovaj crveni dio mi nije bas jasan, jer ja sam nasla izomorfizam izmedju nZ i mZ za neke m,n e N )
(*)U teoremu u kojem se definira mnozenje za dvije klase pa tvrdi da je G/N kvocijentna grupa, zasto je dovoljno dokazat da je mnozenje dobro def?
T: Funkcija invertiranja da je homo.
I sad jel bitno kakvim poretkom dobijem ove? jer koliko sam shvatila trebam dobit I(x)I(y)
(*)Nije mi jasno na sto se misli u ZAD5: Dokazi da su sa nZ dane sve, u parovima medjusobno neizomorfne podgpe od (Z,+).
(Ovaj crveni dio mi nije bas jasan, jer ja sam nasla izomorfizam izmedju nZ i mZ za neke m,n e N )
(*)U teoremu u kojem se definira mnozenje za dvije klase pa tvrdi da je G/N kvocijentna grupa, zasto je dovoljno dokazat da je mnozenje dobro def?
_________________ Kad sam bila mala htjela sam biti statističarka
[tex]\omega \in \Omega[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
Martinab Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
Postano: 10:26 pet, 20. 4. 2007 Naslov: |
|
|
[quote]T: Funkcija invertiranja da je homo.[/quote]
Funkcija invertiranja je homo akko je G Abelova. Stovise, to je zadatak iz zadace. Onda ti je redosljed dobar, jer ih mos zamjenit.
[quote]Dokazi da su sa nZ dane sve, u parovima medjusobno neizomorfne podgpe od (Z,+).
[/quote]
Trebas dokazat da su Z_n i Z-m neizomorfne za razlicite n i m. Sad, uzimas uvijek pozitivne n i m, i tu NE MOGU bit izomorfne ako nije n=m. Za pocetak, skupovi imaju razlicito elemenata pa ne moze postojati bijekcija izmedu njih.
[quote]U teoremu u kojem se definira mnozenje za dvije klase pa tvrdi da je G/N kvocijentna grupa, zasto je dovoljno dokazat da je mnozenje dobro def?
[/quote]
Zato sto je TO problematicni dio. Nije a priori ajsno da je to dobro definirano (tj da kad uzmes razlicite predstavnike iste klase, dobijes iste stvari-slicno si mogla vidjeti kod zbrajanja vektora). A onda jednom kad to dokazes, dokaz da je grupa je lagan: zatvorenost je ocita, asoc naslijedena iz G, neutr el je e+N (ili eN u multiplikativnoj notaciji), a inverz klase x+N je -x+N (ili inverz el xN je x{-1}N u mult notaciji). SKORO je ocito.
Citat: | T: Funkcija invertiranja da je homo. |
Funkcija invertiranja je homo akko je G Abelova. Stovise, to je zadatak iz zadace. Onda ti je redosljed dobar, jer ih mos zamjenit.
Citat: | Dokazi da su sa nZ dane sve, u parovima medjusobno neizomorfne podgpe od (Z,+).
|
Trebas dokazat da su Z_n i Z-m neizomorfne za razlicite n i m. Sad, uzimas uvijek pozitivne n i m, i tu NE MOGU bit izomorfne ako nije n=m. Za pocetak, skupovi imaju razlicito elemenata pa ne moze postojati bijekcija izmedu njih.
Citat: | U teoremu u kojem se definira mnozenje za dvije klase pa tvrdi da je G/N kvocijentna grupa, zasto je dovoljno dokazat da je mnozenje dobro def?
|
Zato sto je TO problematicni dio. Nije a priori ajsno da je to dobro definirano (tj da kad uzmes razlicite predstavnike iste klase, dobijes iste stvari-slicno si mogla vidjeti kod zbrajanja vektora). A onda jednom kad to dokazes, dokaz da je grupa je lagan: zatvorenost je ocita, asoc naslijedena iz G, neutr el je e+N (ili eN u multiplikativnoj notaciji), a inverz klase x+N je -x+N (ili inverz el xN je x{-1}N u mult notaciji). SKORO je ocito.
_________________ A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
[Vrh] |
|
lena Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2005. (21:21:59) Postovi: (4C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Martinab Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
|
[Vrh] |
|
C Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 01. 2005. (17:27:47) Postovi: (4C)16
Spol:
|
Postano: 11:33 pet, 20. 4. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="MartinaB"]
[quote]Citat:
Dokazi da su sa nZ dane sve, u parovima medjusobno neizomorfne podgpe od (Z,+).
[/quote]
Trebas dokazat da su Z_n i Z-m neizomorfne za razlicite n i m. Sad, uzimas uvijek pozitivne n i m, i tu NE MOGU bit izomorfne ako nije n=m. Za pocetak, skupovi imaju razlicito elemenata pa ne moze postojati bijekcija izmedu njih.
[/quote]
Neka je n!=m i n,m>0. Ako definiram f: Z_n -> Z_m tako da je
f(k*n)=k*m (k iz Z, * je "klasično množenje" u Z), to bi trebao biti homomorfizam (jer f(k1*n+k2*n)=f( (k1+k2)*n)=(k1+k2)*m=k1*m + k2*m=f(k1*n)+f(k2*n) )
također mi nije jasno ovo "različito elemenata" - nisu li ti svi skupovi prebrojivi? Npr. bijekcija Z -> Z_n je b(z) = z*n, z iz Z, analogno za Z_m.
Dakle, Z_n i Z i Z_m i Z su jednakobrojni (tj. postoji bijekcija između), pa moraju biti i Z_n i Z_m?
:grebgreb:.. ?
MartinaB (napisa): |
Citat: | Citat:
Dokazi da su sa nZ dane sve, u parovima medjusobno neizomorfne podgpe od (Z,+).
|
Trebas dokazat da su Z_n i Z-m neizomorfne za razlicite n i m. Sad, uzimas uvijek pozitivne n i m, i tu NE MOGU bit izomorfne ako nije n=m. Za pocetak, skupovi imaju razlicito elemenata pa ne moze postojati bijekcija izmedu njih.
|
Neka je n!=m i n,m>0. Ako definiram f: Z_n → Z_m tako da je
f(k*n)=k*m (k iz Z, * je "klasično množenje" u Z), to bi trebao biti homomorfizam (jer f(k1*n+k2*n)=f( (k1+k2)*n)=(k1+k2)*m=k1*m + k2*m=f(k1*n)+f(k2*n) )
također mi nije jasno ovo "različito elemenata" - nisu li ti svi skupovi prebrojivi? Npr. bijekcija Z → Z_n je b(z) = z*n, z iz Z, analogno za Z_m.
Dakle, Z_n i Z i Z_m i Z su jednakobrojni (tj. postoji bijekcija između), pa moraju biti i Z_n i Z_m?
.. ?
|
|
[Vrh] |
|
Martinab Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
|
[Vrh] |
|
lena Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2005. (21:21:59) Postovi: (4C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
nana Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 11. 2005. (12:24:35) Postovi: (2AD)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
C Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 01. 2005. (17:27:47) Postovi: (4C)16
Spol:
|
Postano: 12:04 pet, 20. 4. 2007 Naslov: |
|
|
@MartinaB: Da, u skripti piše nZ (zadatak 5, str. 9, ak će se ažurirat)
@Lena: G(K) = det^(-1) (K), tj. G(K) je praslika od K po determinanti.
Determinanta je homomorfizam (zbog B-C teorema), K je grupa, pa i G(K) mora biti grupa.
Ako je A iz G(K1), to znači da je detA iz K1, pa je detA i iz K2 jer je K1 < K2, što znači da da je A iz G(K2), pa je G(K1)<G(K2).
@MartinaB: Da, u skripti piše nZ (zadatak 5, str. 9, ak će se ažurirat)
@Lena: G(K) = det^(-1) (K), tj. G(K) je praslika od K po determinanti.
Determinanta je homomorfizam (zbog B-C teorema), K je grupa, pa i G(K) mora biti grupa.
Ako je A iz G(K1), to znači da je detA iz K1, pa je detA i iz K2 jer je K1 < K2, što znači da da je A iz G(K2), pa je G(K1)<G(K2).
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
Postano: 22:02 sub, 30. 6. 2007 Naslov: |
|
|
Počinje se od toga da je konjugiranjem zadan izomorfizam. Normalnost podgrupe znači da je invarijantna pod konjugiranjem tj da konjugiranje zadaje automorfizam na toj podgrupi.
Konkretno, ako je A char B i B normalna u C:
Za c iz C,
c^-1 A c sadržano je u B (jer je A sadržana u B, a B normalna u C), a karakterističnost znači da je A invarijantna pod svakim automorfizmom od B na sebe, dakle i pod konjugiranjem elementima iz C.
Dakle, c^-1 A c sadržano je u A, tj. jednako A.
Počinje se od toga da je konjugiranjem zadan izomorfizam. Normalnost podgrupe znači da je invarijantna pod konjugiranjem tj da konjugiranje zadaje automorfizam na toj podgrupi.
Konkretno, ako je A char B i B normalna u C:
Za c iz C,
c^-1 A c sadržano je u B (jer je A sadržana u B, a B normalna u C), a karakterističnost znači da je A invarijantna pod svakim automorfizmom od B na sebe, dakle i pod konjugiranjem elementima iz C.
Dakle, c^-1 A c sadržano je u A, tj. jednako A.
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Debla Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 12. 2005. (16:54:24) Postovi: (94)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
Martinab Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56) Postovi: (2A03E)16
|
Postano: 6:53 pet, 6. 7. 2007 Naslov: |
|
|
naporno mi je ovo s gostima, imam dojam da je netko upravo sam sebi odgovorio... A i creepy mi pricat s nekim kome ne znam ime. Ko kad ljudi ne skinu suncane naocale dok pricaju s tobom 8)
Inace, ak trazis bilo koji homomorfizam f sa bilo koje grupe (Z/nZ) u bilo koji grupu G: f(0) mora bit neutralni element od G. f(1) moze bit bilo koji element od G koji je takav da na n-tu potenciju daje neutr el u G- dakle, bilo koji element ciji red dijelji n. Jednom kad izaberes takav element, onda si odredio i sve ostale jer je f homomorfizam.
naporno mi je ovo s gostima, imam dojam da je netko upravo sam sebi odgovorio... A i creepy mi pricat s nekim kome ne znam ime. Ko kad ljudi ne skinu suncane naocale dok pricaju s tobom
Inace, ak trazis bilo koji homomorfizam f sa bilo koje grupe (Z/nZ) u bilo koji grupu G: f(0) mora bit neutralni element od G. f(1) moze bit bilo koji element od G koji je takav da na n-tu potenciju daje neutr el u G- dakle, bilo koji element ciji red dijelji n. Jednom kad izaberes takav element, onda si odredio i sve ostale jer je f homomorfizam.
_________________ A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Melkor Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00) Postovi: (291)16
Spol:
Lokacija: Void
|
Postano: 13:17 pet, 6. 7. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="Braslav"]Zadatak neka su A,B podgrpe od G takve da je AB podgrupa od G
dokazi da je AB=BA, sada ja sam pokazao da je BA podskup od AB, ali neznam pokazati da je AB podskup od BA, molim pomoc.[/quote]
Ok, imaš [latex]BA\subseteq AB[/latex].
Neka je [latex]ab\in AB[/latex]. Vrijedi [latex]ab=(b^{-1}a^{-1})^{-1}[/latex]. Međutim, [latex]b^{-1}a^{-1}\in BA\subseteq AB[/latex] pa je [latex]b^{-1}a^{-1}=a_1b_1[/latex]. No, tada je [latex]ab=(a_1b_1)^{-1}=b_1^{-1}a_1^{-1}\in BA[/latex].
Braslav (napisa): | Zadatak neka su A,B podgrpe od G takve da je AB podgrupa od G
dokazi da je AB=BA, sada ja sam pokazao da je BA podskup od AB, ali neznam pokazati da je AB podskup od BA, molim pomoc. |
Ok, imaš .
Neka je . Vrijedi . Međutim, pa je . No, tada je .
_________________ I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|