definicija povrsine skupa u ravnini (objasnjenje gradiva)

[amihic]

Def;Za omedjen skup S iz IR2 kazemo sa ima povrsinu ako postoji pravokutnik I koji sadrzi S,takav da je karakteristicna funkcija skupa S Xs:I->IR,R-integrabilna.

koristeci propoziciju 15.3(ii) se vidi da postojanje i iznos povrsine skupa S ne ovisi o odabiru pravokutnika I.KAKO SE TO VIDI??da li bi mi netko mogao to pojasniti???

_________________
ana

[Blatko]

Evo uputa (odmah naglašavam da to možda nije najelegantniji način).

Prvo dokaži jednu pomoćnu lemicu:
Ako je omeđena funkcija f : I -> R jednaka nuli na interior(I), onda je ona R- integrabilna na I i integral(f) = 0.

dokaz: pokaži da je donji_integral(f) >= 0 i gornji_integral(f)<= 0 (to radiš pomoću Darbouxovih suma).

Neka je J neki drugi pravokutnik koji sadrži skup S i Ks : J -> R karakteristična f-ja od S. Treba dokazati da je Ks integrabilna na J i da se taj integral podudara s integralom karakteristične f-je od S na I. Uoči da je I presjek J ili pravokutnik ili sadržan u rubu od I i J. U prvom slučaju iskoristi pomoćnu lemicu i taj 15.3. Drugi slučaj slijedi direktno iz lemice i disjunktnosti ruba i interiora (tada su oba integrala jednaka nuli).