| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
tihana
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 06. 2006. (13:26:54)
Postovi: (30D)16
Spol: 
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
 Postano: 18:39 ned, 25. 11. 2007 Naslov: Re: razna pitanja |
    |
|
|
[quote="tihana"]http://web.math.hr/nastava/vekt/files/v1-kviz1-rj.pdf
na 3.stranici, zadatak treći
kako je tu dobiveno 2006 ? ja sam dobila 1506[/quote]
Rješenje koje piše u datoteci je točno. Naime, ako je [latex](A-2I)^{200}(A-3I)^{300}=0[/latex], onda znamo da minimalni polinom [latex]\mu_A[/latex] dijeli polinom [latex]p(\lambda):=(\lambda-2)^{200}(\lambda-3)^{300}[/latex]. Stoga imamo sljedeće mogućnosti za [latex]\mu_A[/latex]:
[latex]\mu_A(\lambda)=(\lambda-2)^{k}(\lambda-3)^{l}[/latex], gdje su [latex]k,l \in \mathbb{Z}_+,1\leq k+l \leq 2005[/latex] (primijetite da je dozvoljena i mogućnost [latex]k=0[/latex] odnosno [latex]l=0[/latex]). Kako pak [latex]\mu_A[/latex] dijeli i karakteristični polinom [latex]k_A[/latex] od [latex]A[/latex], [latex]k_A[/latex] može biti sljedećeg oblika:
[latex]k_A(\lambda)=-(\lambda-2)^{k}(\lambda-3)^{l}[/latex], pri čemu je [latex]k,l \in \mathbb{Z}_+, 1\leq k+l = 2005[/latex].
Takvih mogućnosti ima [latex]2006[/latex].
| tihana (napisa): | http://web.math.hr/nastava/vekt/files/v1-kviz1-rj.pdf
na 3.stranici, zadatak treći
kako je tu dobiveno 2006 ? ja sam dobila 1506 |
Rješenje koje piše u datoteci je točno. Naime, ako je  , onda znamo da minimalni polinom  dijeli polinom  . Stoga imamo sljedeće mogućnosti za :
 , gdje su  (primijetite da je dozvoljena i mogućnost  odnosno  ). Kako pak dijeli i karakteristični polinom  od  , može biti sljedećeg oblika:
 , pri čemu je  .
Takvih mogućnosti ima  .
|
|
| [Vrh] |
|
sun
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 04. 2006. (13:57:24)
Postovi: (A8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
| Postano: 23:04 ned, 25. 11. 2007 Naslov: |
|
|
|
[quote="sun"]2 pitanja
prvo mozete li malo objasniti kako se rjesava 7.zad u grupi C ili A
[/quote]
Dva operatora (nad kompleksnim prostorom) su slična ako i samo ako imaju jednake Jordanove forme (do na poredak blokova). Znači zadatk 7A/C se svodi na određivanje broja različitih mogućnosti za Jordanovu formu operatora [latex]A \in L(\mathbb{C}^3)[/latex] (do na poredak blokova) čiji je spektar jednak [latex]\sigma(A)=\{2,3\}[/latex]. Takvih je ukupno [latex]4[/latex]:
[latex]\left( \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{array} \right), \ \left( \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{array} \right), \ \left( \begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{array} \right), \ \left( \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{array} \right) [/latex].
[quote="sun"]
i drugo pitanje na str4. 6.zad (znaci grupa B) imamo zadano A^3+3A^2+2A=0, znaci da je minimalni polinom=lambda^3...=lamda(lamda+1)(lambda+2) zar iz toga ne slijedi da su svoj.vrijednosti 0,-1,-2?
kako onda u Ja imamo samo -1 i -2?
znam da zbog det = -4 ne moze biti 0, ali zar nije onda mozda krivo zadano?[/quote]
Ne, jedino što znate je da minimalni polinom [latex]\mu_A[/latex] dijeli polinom [latex]p(\lambda):=\lambda^3 + 3 \lambda^2 + 2 \lambda= \lambda(\lambda+1)(\lambda+2)[/latex]. To ne znači da svaki od faktora polinoma [latex]p[/latex] mora nastupiti u [latex]\mu_A[/latex].
Štoviše, iz uvjeta [latex]\det A =-4[/latex] znamo da je operator [latex]A[/latex] regularan, pa iz [latex]A^3+3A^2+2A=0[/latex] slijedi i [latex]A^2+3A+2I=(A+I)(A+2I)=0[/latex]. Odavde slijedi da je ili [latex]\mu_A(\lambda)=\lambda +1[/latex], ili [latex]\mu_A(\lambda)=\lambda +2[/latex], ili [latex]\mu_A(\lambda)=(\lambda +1)(\lambda +2)[/latex]. Prve dvije mogućnosti su nemoguće jer bi onda bilo [latex]A=-I[/latex] (u prvom slučaju), odnosno [latex]A=-2I[/latex] (u drugom slučaju), pa bi bilo [latex]\det A=(-1)^{7}=-1[/latex] (u prvom slučaju), odnosno [latex]\det A=(-2)^{7}=-128[/latex] (u drugom slučaju).
Zaključujemo da je [latex]\mu_A(\lambda)=(\lambda +1)(\lambda +2)[/latex]. Dakle, [latex]A[/latex] je dijagonalizabilan i [latex]\sigma(A)=\{-2,-1\}[/latex]. Napokon, iz [latex]\det A =-4[/latex] slijedi da je
[latex]J_f(A)=
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\!\!\!\!-2\!\!\!\!$\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm}\\
\hline
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & $\!\!\!\!-2\!\!\!\!$\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm}\\
\hline
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
$\!\!\!\!-1\!\!\!\!$\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm}\\
\hline
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & $\!\!\!\!-1\!\!\!\!$\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm}\\
\hline
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
$\!\!\!\!-1\!\!\!\!$\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm}\\
\hline
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
$\!\!\!\!-1\!\!\!\!$\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm}\\
\hline
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & \rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} &
\rule{3mm}{0mm}\rule{0mm}{5mm} & $\!\!\!\!-1\!\!\!\!$\rule{0mm}{5mm}\\
\hline
\end{tabular}\\
\rule{0mm}{0mm}\\\end{tabular}
[/latex]
| sun (napisa): | 2 pitanja
prvo mozete li malo objasniti kako se rjesava 7.zad u grupi C ili A
|
Dva operatora (nad kompleksnim prostorom) su slična ako i samo ako imaju jednake Jordanove forme (do na poredak blokova). Znači zadatk 7A/C se svodi na određivanje broja različitih mogućnosti za Jordanovu formu operatora  (do na poredak blokova) čiji je spektar jednak  . Takvih je ukupno  :
 .
| sun (napisa): |
i drugo pitanje na str4. 6.zad (znaci grupa B) imamo zadano A^3+3A^2+2A=0, znaci da je minimalni polinom=lambda^3...=lamda(lamda+1)(lambda+2) zar iz toga ne slijedi da su svoj.vrijednosti 0,-1,-2?
kako onda u Ja imamo samo -1 i -2?
znam da zbog det = -4 ne moze biti 0, ali zar nije onda mozda krivo zadano? |
Ne, jedino što znate je da minimalni polinom dijeli polinom  . To ne znači da svaki od faktora polinoma  mora nastupiti u .
Štoviše, iz uvjeta  znamo da je operator regularan, pa iz  slijedi i  . Odavde slijedi da je ili  , ili  , ili  . Prve dvije mogućnosti su nemoguće jer bi onda bilo  (u prvom slučaju), odnosno  (u drugom slučaju), pa bi bilo  (u prvom slučaju), odnosno  (u drugom slučaju).
Zaključujemo da je . Dakle, je dijagonalizabilan i  . Napokon, iz slijedi da je
|
|
| [Vrh] |
|
sun
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 04. 2006. (13:57:24)
Postovi: (A8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
kika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 02. 2005. (09:36:12)
Postovi: (188)16
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
|
| [Vrh] |
|
kika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 02. 2005. (09:36:12)
Postovi: (188)16
|
|
| [Vrh] |
|
zoja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 01. 2007. (00:39:43)
Postovi: (23)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 15:33 sri, 28. 11. 2007 Naslov: |
|
|
|
Nešt me malo zbunjuje, rekli smo da je u zapisu minimalnog polinoma [latex]\mu _A = \prod\limits_{i = 1}^s {\left( {\lambda - \lambda _i } \right)^{p_i } }[/latex], [latex]p_i[/latex] prestavlja broj blokova u Jordanovoj formi kojima pripada svojstvena vrijednost [latex]{\lambda _i }[/latex]. To je ekvivalentno tome da je [latex]p_i[/latex] geometrijska kratnost od [latex]{\lambda _i }[/latex].
E sad, znam da je svaka svojstvena vrijednost nultočka karakterističnog polinoma i pojavljuje mi se u njegovom rastavu na linearne faktore, a znam da joj je geometrijska kratnost barem 1 (pripada joj barem jedan blok) pa bi se morala pojavit i u rastavu minimalnog polinoma. Dakle [latex]\sigma \left( A \right) = \left\{ {\lambda \in K:k_A \left( \lambda \right) = 0} \right\} = \left\{ {\lambda \in K:\mu _A \left( \lambda \right) = 0} \right\}[/latex]. Ali to izgleda nije istina. Gdje mi je greška u zaključivanju?
Edit: ok, skužio sam, potencija u minimalnom je dimenzija najvećeg bloka, a ne ovo što sam napiso
Nešt me malo zbunjuje, rekli smo da je u zapisu minimalnog polinoma  ,  prestavlja broj blokova u Jordanovoj formi kojima pripada svojstvena vrijednost  . To je ekvivalentno tome da je geometrijska kratnost od .
E sad, znam da je svaka svojstvena vrijednost nultočka karakterističnog polinoma i pojavljuje mi se u njegovom rastavu na linearne faktore, a znam da joj je geometrijska kratnost barem 1 (pripada joj barem jedan blok) pa bi se morala pojavit i u rastavu minimalnog polinoma. Dakle  . Ali to izgleda nije istina. Gdje mi je greška u zaključivanju?
Edit: ok, skužio sam, potencija u minimalnom je dimenzija najvećeg bloka, a ne ovo što sam napiso
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
| Postano: 15:48 sri, 28. 11. 2007 Naslov: |
|
|
|
[quote="alen"]Nešt me malo zbunjuje, rekli smo da je u zapisu minimalnog polinoma [latex]\mu _A = \prod\limits_{i = 1}^s {\left( {\lambda - \lambda _i } \right)^{p_i } }[/latex], [latex]p_i[/latex] prestavlja broj blokova u Jordanovoj formi kojima pripada svojstvena vrijednost [latex]{\lambda _i }[/latex]. To je ekvivalentno tome da je [latex]p_i[/latex] geometrijska kratnost od [latex]{\lambda _i }[/latex].
E sad, znam da je svaka svojstvena vrijednost nultočka karakterističnog polinoma i pojavljuje mi se u njegovom rastavu na linearne faktore, a znam da joj je geometrijska kratnost barem 1 (pripada joj barem jedan blok) pa bi se morala pojavit i u rastavu minimalnog polinoma. Dakle [latex]\sigma \left( A \right) = \left\{ {\lambda \in K:k_A \left( \lambda \right) = 0} \right\} = \left\{ {\lambda \in K:\mu _A \left( \lambda \right) = 0} \right\}[/latex]. Ali to izgleda nije istina. Gdje mi je greška u zaključivanju?
[/quote]
Od kud si zaključio da [latex]p_i[/latex] predstavlja broj blokova u Jordanovoj formi obzirom na svojstvenu vrijednost [latex]{\lambda _i }[/latex]? To (općenito) nije točno, [latex]p_i[/latex] predstavlja dimenziju maksimalne Jordanove klijetke pridružene svojoj svojstvenoj vrijednost [latex]{\lambda _i }[/latex].
I ovo što si napisao
[quote="alen"]
[latex]\sigma \left( A \right) = \left\{ {\lambda \in K:k_A \left( \lambda \right) = 0} \right\} = \left\{ {\lambda \in K:\mu _A \left( \lambda \right) = 0} \right\}[/latex].
[/quote]
je uistinu točno. :D
| alen (napisa): | Nešt me malo zbunjuje, rekli smo da je u zapisu minimalnog polinoma , prestavlja broj blokova u Jordanovoj formi kojima pripada svojstvena vrijednost . To je ekvivalentno tome da je geometrijska kratnost od .
E sad, znam da je svaka svojstvena vrijednost nultočka karakterističnog polinoma i pojavljuje mi se u njegovom rastavu na linearne faktore, a znam da joj je geometrijska kratnost barem 1 (pripada joj barem jedan blok) pa bi se morala pojavit i u rastavu minimalnog polinoma. Dakle . Ali to izgleda nije istina. Gdje mi je greška u zaključivanju?
|
Od kud si zaključio da predstavlja broj blokova u Jordanovoj formi obzirom na svojstvenu vrijednost ? To (općenito) nije točno, predstavlja dimenziju maksimalne Jordanove klijetke pridružene svojoj svojstvenoj vrijednost .
I ovo što si napisao
| alen (napisa): |
.
|
je uistinu točno. 
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
|
| [Vrh] |
|
sun
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 04. 2006. (13:57:24)
Postovi: (A8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
. Hvala na objašnjenju
