|
[quote="goc9999"]NE, Bolzana ću naučiti. To je jedan od najvažnijih teorema ove godine. U to baš i nisam siguran da se ne pita.
Ali sam mislio onaj npr. teži dokaz (sad sam ga već i naučio ali...) da svaki realni niz ima monoton podniz.[/quote]
Eh... na ovo ne mogu ne reagirati. :-)
Dakle, kao prvo, mislim da ti je sasvim jasno da u dokazu Bolzana koristiš taj teorem. (Ili će ti postati jasno kad naučiš dokaz.)
A kao drugo... onaj dokaz s beskonačno mnogo skupova indeksâ, i 3 slučaja, za mene je katastrofa (ne znam jel se još uvijek radi na taj način, ali mislim da da). Do te mjere da sam sjeo i pojednostavio ga. :-) Samo jedan skup indeksa, i jedan jednostavan da-ne odgovor koji generira rastući ili padajući niz. Evo ga, možda nekom pomogne:
Imamo niz (a_n)_n . Promotrimo skup indeksâ
[code:1]A:={n:(A k>n)(a_k>a_n)}[/code:1]
(odnosno, n je u A akko su iza n-tog člana u nizu svi veći od njega).
Sad, ili je A konačan ili je beskonačan.
1. slučaj, A konačan. Tad A ima najveći element. Uzmem n0:=1+max A , i znam da niz nakon n0 više nema n-ova s gornjim svojstvom. Preciznije, n>=n0 => (E k>n)(a_k<=a_n) . Specijalno, za n=n0 , dobijem neki k i nazovem ga n1 . Znam da mi je n1>n0 i da je a_n1<=a_n0 . Opet, specijalno za n=n1 , dobijem neki drugi k i označim ga n2 . Također imam n2>n1 i a_n2<=a_n1 . I tako dalje. Mislim da je sad jasno kako se induktivno dobiva padajući podniz a_n0 , a_n1 , a_n2 ,....
2. slučaj, A beskonačan. Tad mu sortiramo članove, i dobijemo A={m0,m1,m2,....} . m0 je u A , pa znamo da su nakon m0-tog člana u nizu svi veći od njega. Specijalno, m1-vi je takav, pa imam a_m1>a_m0 . No i m1 je u A , pa su nakon njegovog člana svi veći od njega, time i m2-gi . a_m2>a_m1 . I tako dalje... opet, indukcijom vidimo da dobivamo (strogo) rastući podniz a_m0 , a_m1 , a_m2 , ....
QED. HTH, Bye,
| goc9999 (napisa): | NE, Bolzana ću naučiti. To je jedan od najvažnijih teorema ove godine. U to baš i nisam siguran da se ne pita.
Ali sam mislio onaj npr. teži dokaz (sad sam ga već i naučio ali...) da svaki realni niz ima monoton podniz. |
Eh... na ovo ne mogu ne reagirati. 
Dakle, kao prvo, mislim da ti je sasvim jasno da u dokazu Bolzana koristiš taj teorem. (Ili će ti postati jasno kad naučiš dokaz.)
A kao drugo... onaj dokaz s beskonačno mnogo skupova indeksâ, i 3 slučaja, za mene je katastrofa (ne znam jel se još uvijek radi na taj način, ali mislim da da). Do te mjere da sam sjeo i pojednostavio ga. Samo jedan skup indeksa, i jedan jednostavan da-ne odgovor koji generira rastući ili padajući niz. Evo ga, možda nekom pomogne:
Imamo niz (a_n)_n . Promotrimo skup indeksâ
| Kod: | | A:={n:(A k>n)(a_k>a_n)} |
(odnosno, n je u A akko su iza n-tog člana u nizu svi veći od njega).
Sad, ili je A konačan ili je beskonačan.
1. slučaj, A konačan. Tad A ima najveći element. Uzmem n0:=1+max A , i znam da niz nakon n0 više nema n-ova s gornjim svojstvom. Preciznije, n>=n0 ⇒ (E k>n)(a_k⇐a_n) . Specijalno, za n=n0 , dobijem neki k i nazovem ga n1 . Znam da mi je n1>n0 i da je a_n1⇐a_n0 . Opet, specijalno za n=n1 , dobijem neki drugi k i označim ga n2 . Također imam n2>n1 i a_n2⇐a_n1 . I tako dalje. Mislim da je sad jasno kako se induktivno dobiva padajući podniz a_n0 , a_n1 , a_n2 ,....
2. slučaj, A beskonačan. Tad mu sortiramo članove, i dobijemo A={m0,m1,m2,....} . m0 je u A , pa znamo da su nakon m0-tog člana u nizu svi veći od njega. Specijalno, m1-vi je takav, pa imam a_m1>a_m0 . No i m1 je u A , pa su nakon njegovog člana svi veći od njega, time i m2-gi . a_m2>a_m1 . I tako dalje... opet, indukcijom vidimo da dobivamo (strogo) rastući podniz a_m0 , a_m1 , a_m2 , ....
QED. HTH, Bye,
|
