Evo da ja jos malo raspisem ono sto je defar natuknuo...
[quote="glenda_north"]Zadana je f-ja f:[-1, 2] u R, f(x)=0.2x^2. Odredite koja točka njezinog grafa je najmanje, a koja najviše udaljena od točke (0, 3). [color=blue]Probala sam preko derivacije, ali ništa.[/color][/quote]
Kvadrat udaljenosti tocke (x,f(x)) od (0,3) je
x^2+(f(x)-3)^2 = 0.04 x^4 - 0.2 x^2 + 9.
Supstituiramo t=x^2.
Sada trebamo minimizirati i maksimizirati funkciju
g(t)=0.04 t^2 - 0.2 t + 9
uz uvjet 0<=t<=4.
Ona je kvadratna pa to nije problem:
minimum je za t=5/2 (uocimo 0<=5/2<=4),
a maksimum na rubu intervala.
g(0)=9, g(4)=8.84
Zato se maksimum postize za t=0.
Sada se vracamo na x (i pritom vodimo racuna da je -1<=x<=2):
t=5/2 ==> x=sqrt(5/2) (Ipak samo 1 rjesenje!)
t=0 ==> x=0
[quote="glenda_north"][color=darkred]Odrediti a€R t. d. minimum f-je f(x)=4x^2- 4ax+ a^2- 2a+ 2 na segmentu [0, 2] bude jednak 3. Tu sam probala s mimimuom i maximumom, ali ništa.[/color][/quote]
Funkcija f na cijelom R minimum postize u x=a/2 i on iznosi f(a/2)=2-2a.
Razlikujemo 3 slucaja:
1.sl. 0<a/2<2, tj. 0<a<4
U ovom slucaju je a/2 element [0,2] pa je 2-2a minimum od f na [0,2].
2-2a=3 ima rjesenje a=-1/2, koje ne zadovoljava uvjet 0<a<4.
Zato ovaj slucaj ne daje niti jedno rjesenje za a.
2.sl. a/2<=0, tj. a<=0
f je rastuca na [0,2] pa je minimum na [0,2] bas f(0)=a^2-2a+2.
a^2-2a+2=3 ima rjesenje a=1-sqrt(2).
(Ono s + ne zadovoljava a<=0.)
3.sl. a/2>=2, tj. a>=4
f je padajuca na [0,2] pa je minimum na [0,2] bas f(2)=a^2-10a+18.
a^2-10a+18=3 ima rjesenje a=5+sqrt(10).
(Ono s - ne zadovoljava a>=4.)
Sve skupa, sve moguce vrijednosti a su:
a=1-sqrt(2), a=5+sqrt(10).
[quote="glenda_north"][color=orange]Ispitati konvergenciju reda S (n=1 do beskonačno) ln(n^2|1/n^2).[/color] Što uopće znači ovo n^2|1?[/quote]
Ni meni to nista ne znaci, ali pretpostavimo da bi umjesto | trebao pisati +.
(Mozda losa foto-kopija?)
U jednom od prethodnih postova veky je dokazao nejednakost
ln(1+x)<=x za sve x>=0.
Specijalno imamo
ln(1+1/n^2)<=1/n^2
pa je Suma ln(1+1/n^2) <= Suma 1/n^2, sto je konacno,
tj. desni red konvergira pa i lijevi red konvergira.
Dakle, red konvergira.
Na drugi nacin istu ideju mozemo izreci ovako:
Racunamo Limes ln(1+1/n^2) / 1/n^2.
On je ln e = 1, sto je pozitivno i konacno pa red
Suma ln(1+1/n^2) konvergira ako i samo ako konvergira red
Suma 1/n^2, a za ovaj posljednji je poznato da konvergira.
[quote="glenda_north"][color=brown]F-ju f(x)=(1-x)^-2 razviti u Taylorov red oko -2.[/color][/quote]
Umjesto da funkciju f(x)=(1-x)^(-2)=(x-1)^(-2) razvijamo oko -2,
radije cemo supstituirati y=x+2, tj. x=-2+y pa funkciju
g(y)=(y-3)^(-2) razvijati oko 0.
Racunamo n-tu derivaciju od g:
g^(n) (y) = (-2)(-3)...(-2-n+1) (y-3)^(-2-n)
(Svaki put kad deriviramo se broj iz eksponenta spusti ispred potencije, a sam eksponent se smanji za 1.)
Dakle, g^(n) (0) = (-1)^n (n+1)! (-3)^(-n-2) = (n+1)! 3^(-n-2)
pa je Taylorov red od g oko 0:
Suma (n+1) 3^(-n-2) y^n,
odnosno Taylorov red od f oko -2 je
Suma (n+1) 3^(-n-2) (x+2)^n.
[quote="glenda_north"]f(x)=arctg(2x). Kako naći n-tu derivaciju ove funkcije?[/quote]
Umjesto f radije gledamo g(x)=arctg(x).
Tada je f(x)=g(2x) pa je f^(n) (x) = g^(n) (2x) * 2^n.
(Stvar je vise estetske prirode, a korisno je zapamtiti/zapisati nesto sto se tice arkus-tangensa.)
Rjesenje je
g^(n) (x) = (-1)^(n-1) (n-1)! (Suma_(0<=k<=(n-1)/2) (-1)^k (n povrh 2k+1) x^(n-2k-1)) / (x^2+1)^n
Kao sto defar rece, ovo mozemo dokazati indukcijom, samo je malo teze za pogoditi. :D
Evo kako se to moze izvesti (ne bas cisto "realno"):
Prva derivacija od g je g'(x)=1/(x^2+1).
Mozemo je zapisati
g'(x)= 1/(x+i)(x-i) = 1/2i ( 1/(x-i) - 1/(x+i) ).
Sada gornju funkciju deriviramo jos n-1 puta tako da dobijemo
g^(n) (x) = 1/2i (-1)^(n-1) (n-1)! ( 1/(x-i)^n - 1/(x+i)^n ).
Ovo bi jos trebalo srediti kako bismo se rijesili kompleksnih brojeva jer su nase funkcije realne.
Sredjivanje daje gore napisanu kobasicu.
Ukoliko netko smatra da ovo rjesenje nije sasvim regularno jer deriviramo kompleksne funkcije
(kao da su realne), preostaje mu samo indukcija ili nek' priceka dok ne nauci Analizu 4.
Ne znam bas da li je ovo bilo zadano kao zadatak na nekom pismenom ili kolokviju.
Nesto lakse je izracunati n-tu derivaciju samo u 0. Dobije se neka jednostavna rekurzija.
Eto..... Hough..... :prodike:
