[b]
1) Neka je f:R->S epimorfizam prstena i neka je I ideal u R. Da li je f(I) potprsten od S? Da li je nuzno i ideal u S? Dokazi[/b]
[u]Rj[/u]
f je epimorfizam prstena, to znaci da je surjekcija, tj. za svaki y iz S postoji x iz R t.d. y=f(x), i znaci da je homorfizam prstena, tj. za svaki x,y iz R f(x+y)=f(x)+f(y) i f(xy)=f(x)f(y).
I je ideal u R, to znaci da za svaki r iz R i x iz I vrijedi da je rxr iz I.
[i]- f(I) potprsten od S?
[/i] f(I) je ocito podskup od S, pa trebamo dokazati ovo:
(1) za svaki x,y iz f(I) vrijedi x-y je iz f(I)
(2) za svaki x,y iz f(I) vrijedi xy je iz f(I)
Uzmimo sada proizvoljne x,y iz f(I), pa kako je f surjekcija to postoje
a,b iz I t.d. x=f(a) i y=f(b).
Sada imamo:
x-y=f(a)-f(b)={f homo}=f(a-b), a to je iz f(I)
xy=f(a)f(b)={f homo}=f(ab), a to je iz f(I).
Znaci, f(I) je potprsten od S
[i]
-f(I) ideal u S?[/i]
Zelimo dokazati: za svaki s iz S i za svaki x iz f(I) sxs je iz f(I).
Uzmimo proizvoljne s iz S i x iz f(I), pa kako je f surjekcija, to postoji a iz R t.d. f(a)=s, i postoji b iz I t.d. f(b)=x.
Sada imamo:
sxs=f(a)f(b)f(a)={f homo}=f(aba), e sada aba je iz I jer je I ideal u R, pa slijedi da je f(aba) iz f(I).
Znaci, f(I) je ideal u S.
[b]
3)Odrediti max(Z) i dokaz[/b]
[u]Rj[/u]
Svaki ideal u Z je glavni i oblika je <n>=nZ,n je iz N0.
Z=<1>, ali to je cijeli Z, pa nije maksimalan.
Z=<4>, ali nije maksimalan, jer je sadrzan u <2>.
slijedi: Max(Z)={<2>,<3>,<5>,...,<p>,....| p je prim broj}
Posebno: Spec(Z)=Max(Z) U {(0)}
[b]
4)Pokazat na primjeru da ako A nije integralna domena, ni A[X] nije int. domena[/b]
[u]Rj[/u]
Recimo neka je A=Z/6Z, sto nije integralna domena, jer ima djelitelje nule, recimo 2*3=0 u Z/6Z.
Uzmimo sada dva polinoma u A[x], napr.
p1(x)=2+2x+2x^2
p2(x)=3+3x
sada imamo p1(x)*p2(x)=2*3+2*3x+2x*3+2x*3x+2x^2*3+2x^2*3x=0
Znaci i A[x] ima dijelitelje nule, pa nije integrana domena.
[b]
5) na primjeru pokazat ako je R polje, da li je RxR polje i ako je R int. domena da li je RxR int. domena. [/b]
[u]Rj[/u]
(1) R int.domena, da li je RxR int.domena? [b]NE![/b]
npr. (a,0)*(0,b)=(0,0), znaci imamo djelitelje nule u RxR.
(2) R polje, RxR polje? [b]NE![/b]
Znamo da je polje tijelo sa komutativnim mnozenjem, a da je tijelo integralna domena gdje je svki ne-nul element invertibilan. Znaci polje je integralna domena, a gore smo pokazali da RxR nije integralna domena ako je R integralna domena. Pa slijedi RxR nije polje ako je R polje.
Nadam se da pomaze![/u]
1) Neka je f:R→S epimorfizam prstena i neka je I ideal u R. Da li je f(I) potprsten od S? Da li je nuzno i ideal u S? Dokazi
Rj
f je epimorfizam prstena, to znaci da je surjekcija, tj. za svaki y iz S postoji x iz R t.d. y=f(x), i znaci da je homorfizam prstena, tj. za svaki x,y iz R f(x+y)=f(x)+f(y) i f(xy)=f(x)f(y).
I je ideal u R, to znaci da za svaki r iz R i x iz I vrijedi da je rxr iz I.
- f(I) potprsten od S?
f(I) je ocito podskup od S, pa trebamo dokazati ovo:
(1) za svaki x,y iz f(I) vrijedi x-y je iz f(I)
(2) za svaki x,y iz f(I) vrijedi xy je iz f(I)
Uzmimo sada proizvoljne x,y iz f(I), pa kako je f surjekcija to postoje
a,b iz I t.d. x=f(a) i y=f(b).
Sada imamo:
x-y=f(a)-f(b)={f homo}=f(a-b), a to je iz f(I)
xy=f(a)f(b)={f homo}=f(ab), a to je iz f(I).
Znaci, f(I) je potprsten od S
-f(I) ideal u S?
Zelimo dokazati: za svaki s iz S i za svaki x iz f(I) sxs je iz f(I).
Uzmimo proizvoljne s iz S i x iz f(I), pa kako je f surjekcija, to postoji a iz R t.d. f(a)=s, i postoji b iz I t.d. f(b)=x.
Sada imamo:
sxs=f(a)f(b)f(a)={f homo}=f(aba), e sada aba je iz I jer je I ideal u R, pa slijedi da je f(aba) iz f(I).
Znaci, f(I) je ideal u S.
3)Odrediti max(Z) i dokaz
Rj
Svaki ideal u Z je glavni i oblika je <n>=nZ,n je iz N0.
Z=<1>, ali to je cijeli Z, pa nije maksimalan.
Z=<4>, ali nije maksimalan, jer je sadrzan u <2>.
slijedi: Max(Z)={<2>,<3>,<5>,...,<p>,....| p je prim broj}
Posebno: Spec(Z)=Max(Z) U {(0)}
4)Pokazat na primjeru da ako A nije integralna domena, ni A[X] nije int. domena
Rj
Recimo neka je A=Z/6Z, sto nije integralna domena, jer ima djelitelje nule, recimo 2*3=0 u Z/6Z.
Uzmimo sada dva polinoma u A[x], napr.
p1(x)=2+2x+2x^2
p2(x)=3+3x
sada imamo p1(x)*p2(x)=2*3+2*3x+2x*3+2x*3x+2x^2*3+2x^2*3x=0
Znaci i A[x] ima dijelitelje nule, pa nije integrana domena.
5) na primjeru pokazat ako je R polje, da li je RxR polje i ako je R int. domena da li je RxR int. domena.
Rj
(1) R int.domena, da li je RxR int.domena? NE!
npr. (a,0)*(0,b)=(0,0), znaci imamo djelitelje nule u RxR.
(2) R polje, RxR polje? NE!
Znamo da je polje tijelo sa komutativnim mnozenjem, a da je tijelo integralna domena gdje je svki ne-nul element invertibilan. Znaci polje je integralna domena, a gore smo pokazali da RxR nije integralna domena ako je R integralna domena. Pa slijedi RxR nije polje ako je R polje.
Nadam se da pomaze![/u]
_________________
I will never join the dark side! NEVER! I`m a Jedi, like my father before me!
