sup(AB)=supA*subB (objasnjenje gradiva)

[frikmen2]

Zanima me rješenje (dokaz) zadatka 1.10 iz skripte prof. Guljaša (str.35) koji glasi:

Neka su A i B iz R+ odozgo ograničeni neprazni skupovi. Treba dokazati da je tada i AB={xy | x€A, y€B} odozgo ograničen i da vrijedi sup(AB)=supA*supB.

Ovo prvo u dokazu, to da je skup AB ograničen kužim. Našli smo broj (supA*supB) koji je veći od svakog elementa iz AB.
Ali ovo dalje gdje se dokazuje da je sup(AB)=supA*supB mi nije baš kristalno jasno. Tu se uzima epsilon veći od nule i manji od (supA+supB)/2. I na kraju se kaže "zbog proizvoljnosti od epsilon tvrdnja vrijedi...". Ali, po meni, tu epsilon nije proizvoljan, nego je iz intervala <0, (supA+supB)/2>.
Ovo za epsilon_0 mi je (valjda) jasno zašto je takav odabran. Zato da se nakon množenja dobije -epsilon i na kraju ispada da (supA+supB)/2-epsilon nije limes.

Nadam se da sam dovoljno dobro pojasnio u čemu je problem. Ponovit ću pitanje: ako je na početku epsilon < (supA+supB)/2 kako na kraju možemo reći da je epsilon proizvoljan.


Dokaz iz knjige je attachan.

[ß]

[frikmen2]

Po definiciji supremuma supA je najmanja gornja međa skupa A. Znači, za bilo koji epsilon veći od 0 broj supA-epsilon nije supremum, odnosno imat ćemo neki element iz A veći od supA-epsilon.

Mi tu želimo pokazati da je supA*supB supremum skupa AB, odnosno, ako se pomaknemo za bilo koji epsilon veći od 0 u lijevo od supA*supB (koji je supremum skupa) da ćemo naići na neki element iz AB.

U dokazu je epsilon manji od (supA+supB)/2, što nije proizvoljan broj veći od nule.

[Novi]

Kao i u promatranju limesa tako i za supremume se moze pokazati da su tvrdnje u kojima stavis da je (epsilon) proizvoljan >0 ekvivalentne istima s malo izmjenjenim pocetkom ----> Neka je d>0 tada za svaki 0<(epsilon)<d.... pa standardni nastavak. To znaci da je bitno promatrati male epsilone, one u okolini nule, ako za njih vrijedi, vrijedit ce i za vece.

[goranm]