| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
kristina
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 12. 2003. (12:44:13)
Postovi: (DE)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
 Postano: 15:33 pon, 9. 2. 2004 Naslov: Re: A15 ne vrijedi u Q - dokaz |
    |
|
|
[quote="kristina"]Muči me dokaz teorema da u skupu Q ne vrijedi A15.
Definirali smo S={q@Q: q>0, q^2<2}
Tvrdnja je da S nema supremum u Q.
Pretpostavili smo da je M@Q supremum od S.
I sad imamo pretpostavku: M^2<2
I onda moramo pokazati da je (M+1/n)^2<2 također u skupu S i onda M nije supremum. Nek mi, please, netko objasni kak da to pokažem.
U drugom slučaju imamo M^2>2
Tu uzmemo (M-1/n)^2>2. Za taj slučaj niš ne kužima jer mi je u bilježnici sve zbrda-zdola.
Nek netko bude dobar da to objasni jer u knjizi tog dokaza nema.
Hvala![/quote]
U ovom gornjem mumbo-jumbou, ne piše kako je kvantificiran n . Pretpostavljam da se ne misli za svaki n , već da postoji n takav da to vrijedi.
E sad... postoji strogo racionalan raspis toga (koji ti je možda zapisan u bilježnici, i koji ti mogu i ja raspisati ako baš hoćeš), ali sumnjam da te on previše zanima. Ako već znaš za realne brojeve, koristeći njih možeš postići stvar puno elegantnije. Ovako:
Nek je M^2<2 (pretpostavimo M@|Q ). To znači M<sqrt(2) . No tad je <M,sqrt(2)> interval u |R , pa u njemu postoji racionalan broj x . Taj x je kontraprimjer za tvrdnju da je M gornja međa od S , jer je x^2<2 (tj. x@S ), a x>M .
Nek je sad M^2>2 (M@|Q , pa M^2=2 otpada). Sad to znači ili M<-sqrt(2) , ili M>sqrt(2) . No ovaj prvi slučaj je bogus, jer je u tom slučaju M negativan, pa sigurno ne može biti gornja međa skupa S koji sadrži i pozitivne brojeve poput 1 . Dakle, M>sqrt(2) . No sad analogno, <sqrt(2),M> je interval, pa sadrži neki racionalan broj, koji je kontraprimjer za tvrdnju da je M najmanja gornja međa za S . Ok?
| kristina (napisa): | Muči me dokaz teorema da u skupu Q ne vrijedi A15.
Definirali smo S={q@Q: q>0, q^2<2}
Tvrdnja je da S nema supremum u Q.
Pretpostavili smo da je M@Q supremum od S.
I sad imamo pretpostavku: M^2<2
I onda moramo pokazati da je (M+1/n)^2<2 također u skupu S i onda M nije supremum. Nek mi, please, netko objasni kak da to pokažem.
U drugom slučaju imamo M^2>2
Tu uzmemo (M-1/n)^2>2. Za taj slučaj niš ne kužima jer mi je u bilježnici sve zbrda-zdola.
Nek netko bude dobar da to objasni jer u knjizi tog dokaza nema.
Hvala! |
U ovom gornjem mumbo-jumbou, ne piše kako je kvantificiran n . Pretpostavljam da se ne misli za svaki n , već da postoji n takav da to vrijedi.
E sad... postoji strogo racionalan raspis toga (koji ti je možda zapisan u bilježnici, i koji ti mogu i ja raspisati ako baš hoćeš), ali sumnjam da te on previše zanima. Ako već znaš za realne brojeve, koristeći njih možeš postići stvar puno elegantnije. Ovako:
Nek je M^2<2 (pretpostavimo M@|Q ). To znači M<sqrt(2) . No tad je <M,sqrt(2)> interval u |R , pa u njemu postoji racionalan broj x . Taj x je kontraprimjer za tvrdnju da je M gornja međa od S , jer je x^2<2 (tj. x@S ), a x>M .
Nek je sad M^2>2 (M@|Q , pa M^2=2 otpada). Sad to znači ili M←sqrt(2) , ili M>sqrt(2) . No ovaj prvi slučaj je bogus, jer je u tom slučaju M negativan, pa sigurno ne može biti gornja međa skupa S koji sadrži i pozitivne brojeve poput 1 . Dakle, M>sqrt(2) . No sad analogno, <sqrt(2),M> je interval, pa sadrži neki racionalan broj, koji je kontraprimjer za tvrdnju da je M najmanja gornja međa za S . Ok?
|
|
| [Vrh] |
|
kristina
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 12. 2003. (12:44:13)
Postovi: (DE)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 19:06 pon, 9. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="kristina"]A jel mogu to tako za usmeni naučiti kako ste vi rekli ili moram kao što je u bilježnici?[/quote]
(-: Sve ovisi o tome koliko samopouzdanja imate. :-)
Konkretno, ovdje se radi o tvrdnji da u svakom realnom intervalu postoji racionalan broj. Ako to znate dokazati, nema problema. Tad je stvar potpuna, i sumnjam da će Vam itko prigovoriti zbog takvog izvoda.
No, truly, ta tvrdnja je prilično teška za egzaktno dokazati, i možda se zato ide zaobilazno...
idemo probati i tako. Dakle, naš svijet su sad racionalni brojevi, realni kao da i ne postoje. Neka je M racionalan broj takav da je M^2<2 . Želim dobiti prirodni n takav da je (M+1/n)^2 još uvijek manje od 2 . Kad to raspišem, vidim da je to M^2+2M/n+1/n^2=M^2+(2M+1/n)/n<=M^2+(2M+1)/n . To manje od 2 znači da mora biti n*(2-M^2)>2M+1 , a takav n postoji po Arhimedovom aksiomu (koji u |Q isto vrijedi). Sad dalje kao i prije... za taj n , M+1/n>M a i dalje je u skupu, pa M nije gornja međa.
Drugo, neka je sad M^2>2 & M>0 (Sad ću se praviti malo pametniji: ). Po Arhimedu imam n takav da vrijedi n*(M^2-2)>2M . To znači M^2-2M/n>2 , pa je sigurno i M^2-2M/n+1/n^2>2 (jer je 1/n^2 pozitivan), a to je upravo (M-1/n)^2>2 . Dalje također isto... M-1/n je manji od M , a također je gornja međa za S , jer svaki x iz S ima kvadrat manji od 2 , a M-1/n ima kvadrat veći od 2 (a kvadriranje je rastuća funkcija na pozitivnim brojevima). So, M-1/n je manja gornja međa za S , pa M nije najmanja. U svakom slučaju, nema supremuma od S .
Eto. Nije ni to toliko strašno, zar ne? Samo treba malo namještati epsilone... ;-)
| kristina (napisa): | | A jel mogu to tako za usmeni naučiti kako ste vi rekli ili moram kao što je u bilježnici? |
(-: Sve ovisi o tome koliko samopouzdanja imate. 
Konkretno, ovdje se radi o tvrdnji da u svakom realnom intervalu postoji racionalan broj. Ako to znate dokazati, nema problema. Tad je stvar potpuna, i sumnjam da će Vam itko prigovoriti zbog takvog izvoda.
No, truly, ta tvrdnja je prilično teška za egzaktno dokazati, i možda se zato ide zaobilazno...
idemo probati i tako. Dakle, naš svijet su sad racionalni brojevi, realni kao da i ne postoje. Neka je M racionalan broj takav da je M^2<2 . Želim dobiti prirodni n takav da je (M+1/n)^2 još uvijek manje od 2 . Kad to raspišem, vidim da je to M^2+2M/n+1/n^2=M^2+(2M+1/n)/n⇐M^2+(2M+1)/n . To manje od 2 znači da mora biti n*(2-M^2)>2M+1 , a takav n postoji po Arhimedovom aksiomu (koji u |Q isto vrijedi). Sad dalje kao i prije... za taj n , M+1/n>M a i dalje je u skupu, pa M nije gornja međa.
Drugo, neka je sad M^2>2 & M>0 (Sad ću se praviti malo pametniji: ). Po Arhimedu imam n takav da vrijedi n*(M^2-2)>2M . To znači M^2-2M/n>2 , pa je sigurno i M^2-2M/n+1/n^2>2 (jer je 1/n^2 pozitivan), a to je upravo (M-1/n)^2>2 . Dalje također isto... M-1/n je manji od M , a također je gornja međa za S , jer svaki x iz S ima kvadrat manji od 2 , a M-1/n ima kvadrat veći od 2 (a kvadriranje je rastuća funkcija na pozitivnim brojevima). So, M-1/n je manja gornja međa za S , pa M nije najmanja. U svakom slučaju, nema supremuma od S .
Eto. Nije ni to toliko strašno, zar ne? Samo treba malo namještati epsilone... 
|
|
| [Vrh] |
|
kristina
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 12. 2003. (12:44:13)
Postovi: (DE)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
|
Znači li to da postoji mogućnost da ga neće pitati na usmenom?