Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

through

[^/[Print]\]
Idite na Prethodno 1, 2 :| |:
Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

#21: Autor/ica: matkec,

Postano: 21:56 sub, 19. 1. 2013
—
Mislim da će mnogo toga biti lakše ako rekurzivnu relaciju zapišemo drukčije.
Neka je P umnožak prvih n članova niza.

[tex]3b_{n+2}=b_1b_2 \cdots b_{n+1} +2 \implies 3b_{n+2} - 2 = P \cdot b_{n+1} [/tex]
[tex]3b_{n+1}=b_1b_2 \cdots b_{n} +2 \implies 3b_{n+1} - 2 = P[/tex]
Kad se rješimo P:
[tex] \implies b_{n+2}=\frac{1}{3}(3b_{n+1}^2-2b_{n+1}+2) [/tex] za sve n, odnosno

[tex] b_{n+1}=\frac{1}{3}(3b_n^2-2b_n+2)[/tex],

za sve prirodne n veće il jednake 2. ([tex] b_2[/tex] izračunamo da je [tex]\frac{7}{9}[/tex]).

Sad je sve lakše. a) dio zadatka padne indukcijom (koristimo izvornu rekurzivnu relaciju): kao prvo, očito je da su svi članovi >0 (izvorna rek. relacija, lagana indukcija).
ako su svi članovi do sad <1, onda je i njihov umnožak <1, pa je i (n+1)-ti član niza <1.

EDIT: Sljedeći paragraf je kriv, treba dokazat padajućost od drugog člana.

Da bi dokazali da je konvergentan, treba nam monotonost (biramo rastućost - indukcijom)
[tex]
b_{n+1}>b_{n} \ \iff \ 3b_{n}^2-2b_{n}+2>3b_n \ \iff \ (b_n-1) (3b_n-2)>0[/tex]
Kako je po pretp. niz ratuć, onda je [tex]b_n>b_2=\frac{7}{9}>\frac{2}{3}[/tex], pa onda vrijedi i ova tvrdnja.

Sad još treba odrediti limes niza:
[tex] L= \frac{1}{3}(3L^2-2L+2) \ \iff \ (L-1)(2L-3)=0 [/tex].
Već smo iskomentirali da su svi članovi niza puno veći od [tex]\frac{2}{3}[/tex], pa je limes jednak 1.
EDIT: limes je jednak 2/3 (jer je niz padajuć, pa su svi članovi niza (počevši od drugog) manji od [tex]b_2=\frac{7}{9}[/tex], pa su puno manji od 1).

Zadnja promjena: matkec; 11:52 ned, 20. 1. 2013; ukupno mijenjano 2 put/a.

#22: Autor/ica: feniks,

Postano: 22:59 sub, 19. 1. 2013
—
Ima li netko voljan da riieši 4 zad pod a, na http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0809-popr.pdf

#23: Autor/ica: setebos93,

Postano: 0:45 ned, 20. 1. 2013
—
Može netko riješiti i 4. b) s popravnog prošle godine, ili barem dati neki hint?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

I pitanje vezano uz 4.a). Dal` se to rješava tako da fiksiramo m i n na 1 pa dva puta dobijemo isti niz, a dobivene vrijednosti su onda infimum i supremum cijelog skupa ili pak postoji neki drugi način?

Unaprijed hvala!

#24: Autor/ica: zaruljica, Lokacija: Split/Zagreb

Postano: 6:30 ned, 20. 1. 2013
—
@matkec
kako niz može biti strogo rastući kad ti je npr 3.član niza= 61/81 šta je otprilike 0,75 a 7/9 je otprilike 0,78
odnosno b2>b3

#25: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 11:29 ned, 20. 1. 2013
—

zaruljica (napisa):

@matkec
kako niz može biti strogo rastući kad ti je npr 3.član niza= 61/81 šta je otprilike 0,75 a 7/9 je otprilike 0,78
odnosno b2>b3

Ustvari je niz padajuci od drugog mjesta nadalje, tj. [tex]b_n>b_{n+1}[/tex] za [tex]n\geq 2[/tex].
To se lako vidi i direktno koristeci (a) dio zadatka tj. [tex]b_{n+1}<1[/tex]:
[tex]3b_{n+1} = b_1\ldots b_n + 2 > b_1\ldots b_n b_{n+1} + 2 = 3b_{n+2}[/tex]
na svaki [tex]n\geq 1[/tex].
Zato ostaje sve sto je matkec rekao, ali je limes [tex]L=\frac{2}{3}[/tex].

#26: Autor/ica: matkec,

Postano: 11:52 ned, 20. 1. 2013
—
Da, isprike na krivom rješenju. Dvoumio sam se dal da napišem samo onu "uljepšanu" rekurziju, il da rješim lijepo cijeli zadatak, pa onda skoro ništa nisam napravio...

#27: Autor/ica: AltairAC,

Postano: 13:34 ned, 20. 1. 2013
—

feniks (napisa):

Ima li netko voljan da riieši 4 zad pod a, na http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0809-popr.pdf

4. a)

[tex] \displaystyle \lim_{x \to 0} \cos(x)^{\frac{1}{e^{2x} - 2e^x + 1}}[/tex]

Što je limes oblika 1 na beskonačno pa imamo:

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 0} {\frac{1}{e^{2x} - 2e^x + 1}} * (\cos(x) - 1)}[/tex]

Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 0} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Pa dobijemo: [tex] \displaystyle e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} [/tex]

Je li možda netko rješavao 3. zadatak tog kolokvija ?
Ja sam dobio 1 i -1 tj. prvo se promotri ovaj izraz u "najveće cijelo", dokaže da je uvijek manji od 1 pa je to 0, a zatim sam promotrio 2 slučaja, kada je n paran i kada je n neparan pa je ostalo promatrati uniju skupova

[tex] \displaystyle \frac{m}{2m-1} [/tex] i [tex] \displaystyle \frac{-m}{2m-1} [/tex]

Za prvog se postiže maximum tj. 1 i on je strogo padajući s limesom u 1/2, a drugom se postiže minimum tj. -1 i on je strogo rastući s limesom u -1/2. Je li dobro ?

Zadnja promjena: AltairAC; 21:12 ned, 20. 1. 2013; ukupno mijenjano 1 put.

#28: Autor/ica: zaruljica, Lokacija: Split/Zagreb

Postano: 16:54 ned, 20. 1. 2013
—

matkec (napisa):

Da, isprike na krivom rješenju. Dvoumio sam se dal da napišem samo onu "uljepšanu" rekurziju, il da rješim lijepo cijeli zadatak, pa onda skoro ništa nisam napravio...

jel postoji neki način da izračunamo limes za niz ako ne raspišemo ovo kao što si ti raspisao u prvih par crta...? (jer se ja sigurno ne bi sitila ovo ovako raspisat pomoću P Very Happy

)

#29: Autor/ica: Silenoz,

Postano: 19:40 ned, 20. 1. 2013
—

AltairAC (napisa):

Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?

#30: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 19:55 ned, 20. 1. 2013
—

zaruljica (napisa):

jel postoji neki način da izračunamo limes za niz ako ne raspišemo ovo kao što si ti raspisao u prvih par crta...? (jer se ja sigurno ne bi sitila ovo ovako raspisat pomoću P Very Happy

)

Moze se prvo pokazati da je niz padajuci od drugog mjesta (kao sto sam napisao gore) pa kako je ocigledno [tex]b_n\geq 0[/tex] zakljucujemo da postoji [tex]L=\lim_{n\to\infty}b_n[/tex].
Sada zbog pada znamo da je [tex]0\leq b_1 b_2\ldots b_n \leq b_1 b_2^{n-1}[/tex] pa iz [tex]b_2<1[/tex] po teoremu o sendvicu slijedi [tex]\lim_{n\to\infty} b_1 b_2\ldots b_n=0[/tex].
Prema tome iz rekurzivne relacije dobivamo [tex]3L=2[/tex], tj. [tex]L=2/3[/tex].

Added after 3 minutes:

AltairAC (napisa):

Je li možda netko rješavao 3. zadatak tog kolokvija ?
Ja sam dobio 1 i -1 tj. prvo se promotri ovaj izraz u "najveće cijelo", dokaže da je uvijek manji od 1 pa je to 0, a zatim sam promotrio 2 slučaja, kada je n paran i kada je n neparan pa je ostalo promatrati uniju skupova

[tex] \displaystyle \frac{m}{2m-1} [/tex] i [tex] \displaystyle \frac{-m}{2m-1} [/tex]

Za prvog se postiže maximum tj. 1 i on je strogo padajući s limesom u 1/2, a drugom se postiže minimum tj. -1 i on je strogo rastući s limesom u -1/2. Je li dobro ?

Tako je. Dakle, [tex]\inf S=\min S=-1[/tex] i [tex]\sup S=\max S=1[/tex].

#31: Autor/ica: Sinuhe,

Postano: 20:22 ned, 20. 1. 2013
—
može li me tko usmjeriti ka rješenju 3. a) iz druge grupe ovog kolokvija http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf
Hvala! Very Happy

#32: Autor/ica: AltairAC,

Postano: 21:50 ned, 20. 1. 2013
—

Silenoz (napisa):

AltairAC (napisa):

Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?

Krivo prepisano, tu ide 0.

Molio bih za hint, 2.a)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf

Pod b) sam rješio, ali pod a) nemam pojma, a ne znam ni može li se takav niz nekako u wolfram alphi izvesti tj. uopće ne znam odkud da krenem.

A ovdje me muči 2. c)

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

Napravio sam supstituciju [tex] x = \frac{-1}{t} [/tex] tako da mi t ide u 0.

pa je ideja bila ovakva:

[tex] \displaystyle \lim_{t \to 0} -\frac{e^{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-1}{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}} * (\frac{1}{t^2}\ + \frac{1}{t}) * \frac{1}{1+e^{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}}}[/tex]

Nemam pojma što da radim s ovim desnim dijelom tj. najvjerojatnije je sve krivo. Confused

#33: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 21:55 ned, 20. 1. 2013
—

Sinuhe (napisa):

može li me tko usmjeriti ka rješenju 3. a) iz druge grupe ovog kolokvija http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf
Hvala! Very Happy

Postoji samo jedna grupa.
Najprije racunamo limes [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^3-2\sin n^2}[/tex] tako da podijelimo brojnik i nazivnik s [tex]n^3[/tex]. Koristenjem teorema o sendvicu se lako dobije [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n^2}{n^3}=0[/tex] pa je taj limes jednak [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Potom racunamo limes [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[3]{n^2-1}}[/tex] tako da podijelimo brojnik i nazivnik s [tex]n^{2/3}[/tex]. Dobije se [tex]+\infty[/tex].
Dakle, dani limes je jednak [tex]+\infty[/tex].

#34: Autor/ica: Silenoz,

Postano: 22:00 ned, 20. 1. 2013
—

AltairAC (napisa):

Silenoz (napisa):

AltairAC (napisa):

Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?

Krivo prepisano, tu ide 0.

Molio bih za hint, 2.a)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf

tnx. nisam vidio da je u originalu bila 0.

hint - teorem o sendvicu. sve su zagrade manje od 0... dalje sam probaj Wink

#35: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 22:05 ned, 20. 1. 2013
—

AltairAC (napisa):

Molio bih za hint, 2.a)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf

Pod b) sam rješio, ali pod a) nemam pojma, a ne znam ni može li se takav niz nekako u wolfram alphi izvesti tj. uopće ne znam odkud da krenem.

Uocite da je svaki faktor iz produkta veci od [tex]0[/tex] i manji od [tex]\sqrt{2}-1[/tex]. Oznacimo cijeli izraz (tj. cijeli produkt) s [tex]a_n[/tex].
Sada mozemo ocijeniti [tex]0< a_n < (\sqrt{2}-1)^{n} [/tex]
Kako je [tex]0<\sqrt{2}-1<1[/tex], imamo [tex]\lim_{n\to\infty}(\sqrt{2}-1)^{n}=0[/tex]
Preostaje iskoristiti teorem o sendvicu i dobiti [tex]\lim_{n\to\infty}a_n=0[/tex].

AltairAC (napisa):

A ovdje me muči 2. c)

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

Napravio sam supstituciju [tex] x = \frac{-1}{t} [/tex] tako da mi t ide u 0.

pa je ideja bila ovakva:

[tex] \displaystyle \lim_{t \to 0} -\frac{e^{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-1}{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}} * (\frac{1}{t^2}\ + \frac{1}{t}) * \frac{1}{1+e^{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}}}[/tex]

Nemam pojma što da radim s ovim desnim dijelom tj. najvjerojatnije je sve krivo. Confused

Bolje vam je naprosto napraviti supstituciju [tex]t=x^2-x[/tex] tako da [tex]t\to+\infty[/tex], sto vidimo iz grafa kvadratne funkcije.
Limes postaje [tex]\lim_{t\to+\infty}\frac{1-e^{t}}{1+e^{t}}=-1[/tex].

#36: Autor/ica: AltairAC,

Postano: 22:24 ned, 20. 1. 2013
—
Hvala svima na brzim odgovorima!

Zadnja 2 pitanja od mene tj. molba za hint:

4.b)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

Mislio sam da bi se zbog arctg-a to isto dalo ocijenit, ali ne znam što bi u tom slučaju sa Arsh-om.

i ovogodišnji 2. kolokvij

8. stranica, 4.b) tj. druga grupa
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1213-kol2.pdf

#37: Autor/ica: Silenoz,

Postano: 22:39 ned, 20. 1. 2013
—

AltairAC (napisa):

Hvala svima na brzim odgovorima!

Zadnja 2 pitanja od mene tj. molba za hint:

4.b)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

Mislio sam da bi se zbog arctg-a to isto dalo ocijenit, ali ne znam što bi u tom slučaju sa Arsh-om.

i ovogodišnji 2. kolokvij

8. stranica, 4.b) tj. druga grupa
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1213-kol2.pdf

evo ti od ove godine (iako, lakse bi bilo pohvatat da je skroz raspisano od supstitucije nadalje, ukljucujuci supstituciju)

vjekovac (napisa):

dodgin_lions (napisa):

4.b) sam u međuvremenu saznala kako se rješava. Ako kome bude trebalo, evo hint: uzme se supstitucija arc tg x = y - pi/2, iz toga se izvuče x, upotrijebi formula za oblik 1^besk. i to je to...

Evo, napisat cu ovdje rjesenje:
Odmah se vidi da je [tex]\lim_{x\to-\infty}(-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x)^{x}[/tex] limes oblika [tex]1^\infty[/tex].
Isto vrijedi i za drugu grupu, nakon sto se korijen zapise kao potencija.
Nakon primjene standardne formule za racunanje limesa tog oblika:
[tex]e^{\lim_{x\to-\infty}x(-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x-1)}[/tex]
Sada se supstituira [tex]t=-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x-1[/tex], tj.
[tex]x=\mathrm{tg}(-\frac{\pi}{2}(t+1))=\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2}t)=\frac{1}{\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}t)}[/tex]
Kako [tex]t\to 0[/tex], dobili smo limes
[tex]e^{\lim_{t\to 0}t/\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}t)}=e^{2/\pi}[/tex]

a taj stari pojma nemam

#38: Autor/ica: zaruljica, Lokacija: Split/Zagreb

Postano: 0:12 pon, 21. 1. 2013
—
koliko je lim(x->0) (arctgx)/x ??? pretpostavljam da je 1, samo ne znam kako dokazat Ehm?

#39: Autor/ica: AltairAC,

Postano: 0:24 pon, 21. 1. 2013
—

Silenoz (napisa):

evo ti od ove godine (iako, lakse bi bilo pohvatat da je skroz raspisano od supstitucije nadalje, ukljucujuci supstituciju)

Sveo sam to na [tex]\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{t}{tg(-\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{4}) + 1} [/tex]

Ali pojma nemam kako da iz toga izvučem -2/pi , pokušao sam raspisati pomoću sinusa i kosinusa, no čini mi se da nije baš tako zamišljen taj zadatak...

Ugl. sretno svima danas!

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na Prethodno 1, 2 :| |: Stranica 2 / 2.