Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

kolokvij (zadatak)
WWW:
Idite na Prethodno  1, 2
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
matkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 05. 2010. (16:21:29)
Postovi: (8C)16
Sarma = la pohva - posuda
34 = 36 - 2
PostPostano: 21:56 sub, 19. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
Mislim da će mnogo toga biti lakše ako rekurzivnu relaciju zapišemo drukčije.
Neka je P umnožak prvih n članova niza.

[tex]3b_{n+2}=b_1b_2 \cdots b_{n+1} +2 \implies 3b_{n+2} - 2 = P \cdot b_{n+1} [/tex]
[tex]3b_{n+1}=b_1b_2 \cdots b_{n} +2 \implies 3b_{n+1} - 2 = P[/tex]
Kad se rješimo P:
[tex] \implies b_{n+2}=\frac{1}{3}(3b_{n+1}^2-2b_{n+1}+2) [/tex] za sve n, odnosno

[tex] b_{n+1}=\frac{1}{3}(3b_n^2-2b_n+2)[/tex],

za sve prirodne n veće il jednake 2. ([tex] b_2[/tex] izračunamo da je [tex]\frac{7}{9}[/tex]).

Sad je sve lakše. a) dio zadatka padne indukcijom (koristimo izvornu rekurzivnu relaciju): kao prvo, očito je da su svi članovi >0 (izvorna rek. relacija, lagana indukcija).
ako su svi članovi do sad <1, onda je i njihov umnožak <1, pa je i (n+1)-ti član niza <1.

EDIT: Sljedeći paragraf je kriv, treba dokazat padajućost od drugog člana.

Da bi dokazali da je konvergentan, treba nam monotonost (biramo rastućost - indukcijom)
[tex]
b_{n+1}>b_{n} \ \iff \ 3b_{n}^2-2b_{n}+2>3b_n \ \iff \ (b_n-1) (3b_n-2)>0[/tex]
Kako je po pretp. niz ratuć, onda je [tex]b_n>b_2=\frac{7}{9}>\frac{2}{3}[/tex], pa onda vrijedi i ova tvrdnja.

Sad još treba odrediti limes niza:
[tex] L= \frac{1}{3}(3L^2-2L+2) \ \iff \ (L-1)(2L-3)=0 [/tex].
Već smo iskomentirali da su svi članovi niza puno veći od [tex]\frac{2}{3}[/tex], pa je limes jednak 1.
EDIT: limes je jednak 2/3 (jer je niz padajuć, pa su svi članovi niza (počevši od drugog) manji od [tex]b_2=\frac{7}{9}[/tex], pa su puno manji od 1).
Mislim da će mnogo toga biti lakše ako rekurzivnu relaciju zapišemo drukčije.
Neka je P umnožak prvih n članova niza.

[tex]3b_{n+2}=b_1b_2 \cdots b_{n+1} +2 \implies 3b_{n+2} - 2 = P \cdot b_{n+1} [/tex]
[tex]3b_{n+1}=b_1b_2 \cdots b_{n} +2 \implies 3b_{n+1} - 2 = P[/tex]
Kad se rješimo P:
[tex] \implies b_{n+2}=\frac{1}{3}(3b_{n+1}^2-2b_{n+1}+2) [/tex] za sve n, odnosno

[tex] b_{n+1}=\frac{1}{3}(3b_n^2-2b_n+2)[/tex],

za sve prirodne n veće il jednake 2. ([tex] b_2[/tex] izračunamo da je [tex]\frac{7}{9}[/tex]).

Sad je sve lakše. a) dio zadatka padne indukcijom (koristimo izvornu rekurzivnu relaciju): kao prvo, očito je da su svi članovi >0 (izvorna rek. relacija, lagana indukcija).
ako su svi članovi do sad <1, onda je i njihov umnožak <1, pa je i (n+1)-ti član niza <1.

EDIT: Sljedeći paragraf je kriv, treba dokazat padajućost od drugog člana.

Da bi dokazali da je konvergentan, treba nam monotonost (biramo rastućost - indukcijom)
[tex]
b_{n+1}>b_{n} \ \iff \ 3b_{n}^2-2b_{n}+2>3b_n \ \iff \ (b_n-1) (3b_n-2)>0[/tex]
Kako je po pretp. niz ratuć, onda je [tex]b_n>b_2=\frac{7}{9}>\frac{2}{3}[/tex], pa onda vrijedi i ova tvrdnja.

Sad još treba odrediti limes niza:
[tex] L= \frac{1}{3}(3L^2-2L+2) \ \iff \ (L-1)(2L-3)=0 [/tex].
Već smo iskomentirali da su svi članovi niza puno veći od [tex]\frac{2}{3}[/tex], pa je limes jednak 1.
EDIT: limes je jednak 2/3 (jer je niz padajuć, pa su svi članovi niza (počevši od drugog) manji od [tex]b_2=\frac{7}{9}[/tex], pa su puno manji od 1).




Zadnja promjena: matkec; 11:52 ned, 20. 1. 2013; ukupno mijenjano 2 put/a.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
feniks
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 01. 2013. (16:51:15)
Postovi: (B)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 22:59 sub, 19. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
Ima li netko voljan da riieši 4 zad pod a, na http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0809-popr.pdf
Ima li netko voljan da riieši 4 zad pod a, na http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0809-popr.pdf


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
setebos93
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 04. 2011. (22:57:11)
Postovi: (19)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
3 = 3 - 0
PostPostano: 0:45 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
Može netko riješiti i 4. b) s popravnog prošle godine, ili barem dati neki hint?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

I pitanje vezano uz 4.a). Dal` se to rješava tako da fiksiramo m i n na 1 pa dva puta dobijemo isti niz, a dobivene vrijednosti su onda infimum i supremum cijelog skupa ili pak postoji neki drugi način?

Unaprijed hvala!
Može netko riješiti i 4. b) s popravnog prošle godine, ili barem dati neki hint?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

I pitanje vezano uz 4.a). Dal` se to rješava tako da fiksiramo m i n na 1 pa dva puta dobijemo isti niz, a dobivene vrijednosti su onda infimum i supremum cijelog skupa ili pak postoji neki drugi način?

Unaprijed hvala!


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
zaruljica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 09. 2011. (13:15:25)
Postovi: (41)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
7 = 9 - 2
Lokacija: Split/Zagreb
PostPostano: 6:30 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
@matkec
kako niz može biti strogo rastući kad ti je npr 3.član niza= 61/81 šta je otprilike 0,75 a 7/9 je otprilike 0,78
odnosno b2>b3
@matkec
kako niz može biti strogo rastući kad ti je npr 3.član niza= 61/81 šta je otprilike 0,75 a 7/9 je otprilike 0,78
odnosno b2>b3



_________________
[tex] e ^ {i \pi} + 1 = 0 [/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 11:29 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="zaruljica"]@matkec
kako niz može biti strogo rastući kad ti je npr 3.član niza= 61/81 šta je otprilike 0,75 a 7/9 je otprilike 0,78
odnosno b2>b3[/quote]
Ustvari je niz padajuci od drugog mjesta nadalje, tj. [tex]b_n>b_{n+1}[/tex] za [tex]n\geq 2[/tex].
To se lako vidi i direktno koristeci (a) dio zadatka tj. [tex]b_{n+1}<1[/tex]:
[tex]3b_{n+1} = b_1\ldots b_n + 2 > b_1\ldots b_n b_{n+1} + 2 = 3b_{n+2}[/tex]
na svaki [tex]n\geq 1[/tex].
Zato ostaje sve sto je matkec rekao, ali je limes [tex]L=\frac{2}{3}[/tex].
zaruljica (napisa):
@matkec
kako niz može biti strogo rastući kad ti je npr 3.član niza= 61/81 šta je otprilike 0,75 a 7/9 je otprilike 0,78
odnosno b2>b3

Ustvari je niz padajuci od drugog mjesta nadalje, tj. [tex]b_n>b_{n+1}[/tex] za [tex]n\geq 2[/tex].
To se lako vidi i direktno koristeci (a) dio zadatka tj. [tex]b_{n+1}<1[/tex]:
[tex]3b_{n+1} = b_1\ldots b_n + 2 > b_1\ldots b_n b_{n+1} + 2 = 3b_{n+2}[/tex]
na svaki [tex]n\geq 1[/tex].
Zato ostaje sve sto je matkec rekao, ali je limes [tex]L=\frac{2}{3}[/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
matkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 05. 2010. (16:21:29)
Postovi: (8C)16
Sarma = la pohva - posuda
34 = 36 - 2
PostPostano: 11:52 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
Da, isprike na krivom rješenju. Dvoumio sam se dal da napišem samo onu "uljepšanu" rekurziju, il da rješim lijepo cijeli zadatak, pa onda skoro ništa nisam napravio...
Da, isprike na krivom rješenju. Dvoumio sam se dal da napišem samo onu "uljepšanu" rekurziju, il da rješim lijepo cijeli zadatak, pa onda skoro ništa nisam napravio...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
AltairAC
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 31. 05. 2012. (11:38:58)
Postovi: (E)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
1 = 1 - 0
PostPostano: 13:34 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="feniks"]Ima li netko voljan da riieši 4 zad pod a, na http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0809-popr.pdf[/quote]

4. a)

[tex] \displaystyle \lim_{x \to 0} \cos(x)^{\frac{1}{e^{2x} - 2e^x + 1}}[/tex]

Što je limes oblika 1 na beskonačno pa imamo:

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 0} {\frac{1}{e^{2x} - 2e^x + 1}} * (\cos(x) - 1)}[/tex]

Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 0} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Pa dobijemo: [tex] \displaystyle e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} [/tex][size=18][/size]

Je li možda netko rješavao 3. zadatak tog kolokvija ?
Ja sam dobio 1 i -1 tj. prvo se promotri ovaj izraz u "najveće cijelo", dokaže da je uvijek manji od 1 pa je to 0, a zatim sam promotrio 2 slučaja, kada je n paran i kada je n neparan pa je ostalo promatrati uniju skupova

[tex] \displaystyle \frac{m}{2m-1} [/tex] i [tex] \displaystyle \frac{-m}{2m-1} [/tex]

Za prvog se postiže maximum tj. 1 i on je strogo padajući s limesom u 1/2, a drugom se postiže minimum tj. -1 i on je strogo rastući s limesom u -1/2. Je li dobro ?
feniks (napisa):
Ima li netko voljan da riieši 4 zad pod a, na http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0809-popr.pdf


4. a)

[tex] \displaystyle \lim_{x \to 0} \cos(x)^{\frac{1}{e^{2x} - 2e^x + 1}}[/tex]

Što je limes oblika 1 na beskonačno pa imamo:

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 0} {\frac{1}{e^{2x} - 2e^x + 1}} * (\cos(x) - 1)}[/tex]

Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 0} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Pa dobijemo: [tex] \displaystyle e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} [/tex]

Je li možda netko rješavao 3. zadatak tog kolokvija ?
Ja sam dobio 1 i -1 tj. prvo se promotri ovaj izraz u "najveće cijelo", dokaže da je uvijek manji od 1 pa je to 0, a zatim sam promotrio 2 slučaja, kada je n paran i kada je n neparan pa je ostalo promatrati uniju skupova

[tex] \displaystyle \frac{m}{2m-1} [/tex] i [tex] \displaystyle \frac{-m}{2m-1} [/tex]

Za prvog se postiže maximum tj. 1 i on je strogo padajući s limesom u 1/2, a drugom se postiže minimum tj. -1 i on je strogo rastući s limesom u -1/2. Je li dobro ?




Zadnja promjena: AltairAC; 21:12 ned, 20. 1. 2013; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
zaruljica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 09. 2011. (13:15:25)
Postovi: (41)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
7 = 9 - 2
Lokacija: Split/Zagreb
PostPostano: 16:54 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="matkec"]Da, isprike na krivom rješenju. Dvoumio sam se dal da napišem samo onu "uljepšanu" rekurziju, il da rješim lijepo cijeli zadatak, pa onda skoro ništa nisam napravio...[/quote]

jel postoji neki način da izračunamo limes za niz ako ne raspišemo ovo kao što si ti raspisao u prvih par crta...? (jer se ja sigurno ne bi sitila ovo ovako raspisat pomoću P :D )
matkec (napisa):
Da, isprike na krivom rješenju. Dvoumio sam se dal da napišem samo onu "uljepšanu" rekurziju, il da rješim lijepo cijeli zadatak, pa onda skoro ništa nisam napravio...


jel postoji neki način da izračunamo limes za niz ako ne raspišemo ovo kao što si ti raspisao u prvih par crta...? (jer se ja sigurno ne bi sitila ovo ovako raspisat pomoću P Very Happy )



_________________
[tex] e ^ {i \pi} + 1 = 0 [/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Silenoz
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 10. 2011. (18:45:11)
Postovi: (4F)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
2 = 5 - 3
PostPostano: 19:40 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="AltairAC"]Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]
[/quote]
Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?
AltairAC (napisa):
Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 19:55 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="zaruljica"]jel postoji neki način da izračunamo limes za niz ako ne raspišemo ovo kao što si ti raspisao u prvih par crta...? (jer se ja sigurno ne bi sitila ovo ovako raspisat pomoću P :D )[/quote]
Moze se prvo pokazati da je niz padajuci od drugog mjesta (kao sto sam napisao gore) pa kako je ocigledno [tex]b_n\geq 0[/tex] zakljucujemo da postoji [tex]L=\lim_{n\to\infty}b_n[/tex].
Sada zbog pada znamo da je [tex]0\leq b_1 b_2\ldots b_n \leq b_1 b_2^{n-1}[/tex] pa iz [tex]b_2<1[/tex] po teoremu o sendvicu slijedi [tex]\lim_{n\to\infty} b_1 b_2\ldots b_n=0[/tex].
Prema tome iz rekurzivne relacije dobivamo [tex]3L=2[/tex], tj. [tex]L=2/3[/tex].

[size=9][color=#999999]Added after 3 minutes:[/color][/size]

[quote="AltairAC"]Je li možda netko rješavao 3. zadatak tog kolokvija ?
Ja sam dobio 1 i -1 tj. prvo se promotri ovaj izraz u "najveće cijelo", dokaže da je uvijek manji od 1 pa je to 0, a zatim sam promotrio 2 slučaja, kada je n paran i kada je n neparan pa je ostalo promatrati uniju skupova

[tex] \displaystyle \frac{m}{2m-1} [/tex] i [tex] \displaystyle \frac{-m}{2m-1} [/tex]

Za prvog se postiže maximum tj. 1 i on je strogo padajući s limesom u 1/2, a drugom se postiže minimum tj. -1 i on je strogo rastući s limesom u -1/2. Je li dobro ?[/quote]
Tako je. Dakle, [tex]\inf S=\min S=-1[/tex] i [tex]\sup S=\max S=1[/tex].
zaruljica (napisa):
jel postoji neki način da izračunamo limes za niz ako ne raspišemo ovo kao što si ti raspisao u prvih par crta...? (jer se ja sigurno ne bi sitila ovo ovako raspisat pomoću P Very Happy )

Moze se prvo pokazati da je niz padajuci od drugog mjesta (kao sto sam napisao gore) pa kako je ocigledno [tex]b_n\geq 0[/tex] zakljucujemo da postoji [tex]L=\lim_{n\to\infty}b_n[/tex].
Sada zbog pada znamo da je [tex]0\leq b_1 b_2\ldots b_n \leq b_1 b_2^{n-1}[/tex] pa iz [tex]b_2<1[/tex] po teoremu o sendvicu slijedi [tex]\lim_{n\to\infty} b_1 b_2\ldots b_n=0[/tex].
Prema tome iz rekurzivne relacije dobivamo [tex]3L=2[/tex], tj. [tex]L=2/3[/tex].

Added after 3 minutes:

AltairAC (napisa):
Je li možda netko rješavao 3. zadatak tog kolokvija ?
Ja sam dobio 1 i -1 tj. prvo se promotri ovaj izraz u "najveće cijelo", dokaže da je uvijek manji od 1 pa je to 0, a zatim sam promotrio 2 slučaja, kada je n paran i kada je n neparan pa je ostalo promatrati uniju skupova

[tex] \displaystyle \frac{m}{2m-1} [/tex] i [tex] \displaystyle \frac{-m}{2m-1} [/tex]

Za prvog se postiže maximum tj. 1 i on je strogo padajući s limesom u 1/2, a drugom se postiže minimum tj. -1 i on je strogo rastući s limesom u -1/2. Je li dobro ?

Tako je. Dakle, [tex]\inf S=\min S=-1[/tex] i [tex]\sup S=\max S=1[/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Sinuhe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 08. 2010. (21:55:23)
Postovi: (6)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
1 = 1 - 0
PostPostano: 20:22 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
može li me tko usmjeriti ka rješenju 3. a) iz druge grupe ovog kolokvija http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf
Hvala! :D
može li me tko usmjeriti ka rješenju 3. a) iz druge grupe ovog kolokvija http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf
Hvala! Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
AltairAC
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 31. 05. 2012. (11:38:58)
Postovi: (E)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
1 = 1 - 0
PostPostano: 21:50 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Silenoz"][quote="AltairAC"]Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]
[/quote]
Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?[/quote]

Krivo prepisano, tu ide 0.

Molio bih za hint, 2.a)
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf[/url]

Pod b) sam rješio, ali pod a) nemam pojma, a ne znam ni može li se takav niz nekako u wolfram alphi izvesti tj. uopće ne znam odkud da krenem.

A ovdje me muči 2. c)

[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf[/url]

Napravio sam supstituciju [tex] x = \frac{-1}{t} [/tex] tako da mi t ide u 0.

pa je ideja bila ovakva:

[tex] \displaystyle \lim_{t \to 0} -\frac{e^{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-1}{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}} * (\frac{1}{t^2}\ + \frac{1}{t}) * \frac{1}{1+e^{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}}}[/tex]

Nemam pojma što da radim s ovim desnim dijelom tj. najvjerojatnije je sve krivo. :?
Silenoz (napisa):
AltairAC (napisa):
Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?


Krivo prepisano, tu ide 0.

Molio bih za hint, 2.a)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf

Pod b) sam rješio, ali pod a) nemam pojma, a ne znam ni može li se takav niz nekako u wolfram alphi izvesti tj. uopće ne znam odkud da krenem.

A ovdje me muči 2. c)

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

Napravio sam supstituciju [tex] x = \frac{-1}{t} [/tex] tako da mi t ide u 0.

pa je ideja bila ovakva:

[tex] \displaystyle \lim_{t \to 0} -\frac{e^{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-1}{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}} * (\frac{1}{t^2}\ + \frac{1}{t}) * \frac{1}{1+e^{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}}}[/tex]

Nemam pojma što da radim s ovim desnim dijelom tj. najvjerojatnije je sve krivo. Confused


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 21:55 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Sinuhe"]može li me tko usmjeriti ka rješenju 3. a) iz druge grupe ovog kolokvija http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf
Hvala! :D[/quote]
Postoji samo jedna grupa.
Najprije racunamo limes [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^3-2\sin n^2}[/tex] tako da podijelimo brojnik i nazivnik s [tex]n^3[/tex]. Koristenjem teorema o sendvicu se lako dobije [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n^2}{n^3}=0[/tex] pa je taj limes jednak [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Potom racunamo limes [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[3]{n^2-1}}[/tex] tako da podijelimo brojnik i nazivnik s [tex]n^{2/3}[/tex]. Dobije se [tex]+\infty[/tex].
Dakle, dani limes je jednak [tex]+\infty[/tex].
Sinuhe (napisa):
može li me tko usmjeriti ka rješenju 3. a) iz druge grupe ovog kolokvija http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf
Hvala! Very Happy

Postoji samo jedna grupa.
Najprije racunamo limes [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^3-2\sin n^2}[/tex] tako da podijelimo brojnik i nazivnik s [tex]n^3[/tex]. Koristenjem teorema o sendvicu se lako dobije [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n^2}{n^3}=0[/tex] pa je taj limes jednak [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Potom racunamo limes [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[3]{n^2-1}}[/tex] tako da podijelimo brojnik i nazivnik s [tex]n^{2/3}[/tex]. Dobije se [tex]+\infty[/tex].
Dakle, dani limes je jednak [tex]+\infty[/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Silenoz
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 10. 2011. (18:45:11)
Postovi: (4F)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
2 = 5 - 3
PostPostano: 22:00 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="AltairAC"][quote="Silenoz"][quote="AltairAC"]Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]
[/quote]
Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?[/quote]

Krivo prepisano, tu ide 0.

Molio bih za hint, 2.a)
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf[/url][/quote]

tnx. nisam vidio da je u originalu bila 0.

hint - teorem o sendvicu. sve su zagrade manje od 0... dalje sam probaj ;)
AltairAC (napisa):
Silenoz (napisa):
AltairAC (napisa):
Slijedi "namještanje":

[tex] \displaystyle e^{\lim_{x \to 1} {\frac{-\frac{(1-\cos(x))}{x^2} * x^2}{(\frac{(e^x - 1)}{x})^2 * x^2} }}[/tex]

Zar za takvo namjestanje x ne bi trebao teziti u 0 a ne u 1?


Krivo prepisano, tu ide 0.

Molio bih za hint, 2.a)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf


tnx. nisam vidio da je u originalu bila 0.

hint - teorem o sendvicu. sve su zagrade manje od 0... dalje sam probaj Wink


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 22:05 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="AltairAC"]Molio bih za hint, 2.a)
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf[/url]

Pod b) sam rješio, ali pod a) nemam pojma, a ne znam ni može li se takav niz nekako u wolfram alphi izvesti tj. uopće ne znam odkud da krenem.[/quote]

Uocite da je svaki faktor iz produkta veci od [tex]0[/tex] i manji od [tex]\sqrt{2}-1[/tex]. Oznacimo cijeli izraz (tj. cijeli produkt) s [tex]a_n[/tex].
Sada mozemo ocijeniti [tex]0< a_n < (\sqrt{2}-1)^{n} [/tex]
Kako je [tex]0<\sqrt{2}-1<1[/tex], imamo [tex]\lim_{n\to\infty}(\sqrt{2}-1)^{n}=0[/tex]
Preostaje iskoristiti teorem o sendvicu i dobiti [tex]\lim_{n\to\infty}a_n=0[/tex].


[quote="AltairAC"]A ovdje me muči 2. c)

[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf[/url]

Napravio sam supstituciju [tex] x = \frac{-1}{t} [/tex] tako da mi t ide u 0.

pa je ideja bila ovakva:

[tex] \displaystyle \lim_{t \to 0} -\frac{e^{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-1}{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}} * (\frac{1}{t^2}\ + \frac{1}{t}) * \frac{1}{1+e^{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}}}[/tex]

Nemam pojma što da radim s ovim desnim dijelom tj. najvjerojatnije je sve krivo. :?[/quote]
Bolje vam je naprosto napraviti supstituciju [tex]t=x^2-x[/tex] tako da [tex]t\to+\infty[/tex], sto vidimo iz grafa kvadratne funkcije.
Limes postaje [tex]\lim_{t\to+\infty}\frac{1-e^{t}}{1+e^{t}}=-1[/tex].
AltairAC (napisa):
Molio bih za hint, 2.a)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-popr.pdf

Pod b) sam rješio, ali pod a) nemam pojma, a ne znam ni može li se takav niz nekako u wolfram alphi izvesti tj. uopće ne znam odkud da krenem.


Uocite da je svaki faktor iz produkta veci od [tex]0[/tex] i manji od [tex]\sqrt{2}-1[/tex]. Oznacimo cijeli izraz (tj. cijeli produkt) s [tex]a_n[/tex].
Sada mozemo ocijeniti [tex]0< a_n < (\sqrt{2}-1)^{n} [/tex]
Kako je [tex]0<\sqrt{2}-1<1[/tex], imamo [tex]\lim_{n\to\infty}(\sqrt{2}-1)^{n}=0[/tex]
Preostaje iskoristiti teorem o sendvicu i dobiti [tex]\lim_{n\to\infty}a_n=0[/tex].


AltairAC (napisa):
A ovdje me muči 2. c)

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

Napravio sam supstituciju [tex] x = \frac{-1}{t} [/tex] tako da mi t ide u 0.

pa je ideja bila ovakva:

[tex] \displaystyle \lim_{t \to 0} -\frac{e^{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-1}{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}} * (\frac{1}{t^2}\ + \frac{1}{t}) * \frac{1}{1+e^{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t}}}[/tex]

Nemam pojma što da radim s ovim desnim dijelom tj. najvjerojatnije je sve krivo. Confused

Bolje vam je naprosto napraviti supstituciju [tex]t=x^2-x[/tex] tako da [tex]t\to+\infty[/tex], sto vidimo iz grafa kvadratne funkcije.
Limes postaje [tex]\lim_{t\to+\infty}\frac{1-e^{t}}{1+e^{t}}=-1[/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
AltairAC
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 31. 05. 2012. (11:38:58)
Postovi: (E)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
1 = 1 - 0
PostPostano: 22:24 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
Hvala svima na brzim odgovorima!

Zadnja 2 pitanja od mene tj. molba za hint:

4.b)
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf[/url]

Mislio sam da bi se zbog arctg-a to isto dalo ocijenit, ali ne znam što bi u tom slučaju sa Arsh-om.

i ovogodišnji 2. kolokvij

8. stranica, 4.b) tj. druga grupa
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1213-kol2.pdf[/url]
Hvala svima na brzim odgovorima!

Zadnja 2 pitanja od mene tj. molba za hint:

4.b)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

Mislio sam da bi se zbog arctg-a to isto dalo ocijenit, ali ne znam što bi u tom slučaju sa Arsh-om.

i ovogodišnji 2. kolokvij

8. stranica, 4.b) tj. druga grupa
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1213-kol2.pdf


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Silenoz
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 10. 2011. (18:45:11)
Postovi: (4F)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
2 = 5 - 3
PostPostano: 22:39 ned, 20. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="AltairAC"]Hvala svima na brzim odgovorima!

Zadnja 2 pitanja od mene tj. molba za hint:

4.b)
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf[/url]

Mislio sam da bi se zbog arctg-a to isto dalo ocijenit, ali ne znam što bi u tom slučaju sa Arsh-om.

i ovogodišnji 2. kolokvij

8. stranica, 4.b) tj. druga grupa
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1213-kol2.pdf[/url][/quote]

evo ti od ove godine (iako, lakse bi bilo pohvatat da je skroz raspisano od supstitucije nadalje, ukljucujuci supstituciju)

[quote="vjekovac"][quote="dodgin_lions"]4.b) sam u međuvremenu saznala kako se rješava. Ako kome bude trebalo, evo hint: uzme se supstitucija arc tg x = y - pi/2, iz toga se izvuče x, upotrijebi formula za oblik 1^besk. i to je to...[/quote]

Evo, napisat cu ovdje rjesenje:
Odmah se vidi da je [tex]\lim_{x\to-\infty}(-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x)^{x}[/tex] limes oblika [tex]1^\infty[/tex].
Isto vrijedi i za drugu grupu, nakon sto se korijen zapise kao potencija.
Nakon primjene standardne formule za racunanje limesa tog oblika:
[tex]e^{\lim_{x\to-\infty}x(-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x-1)}[/tex]
Sada se supstituira [tex]t=-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x-1[/tex], tj.
[tex]x=\mathrm{tg}(-\frac{\pi}{2}(t+1))=\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2}t)=\frac{1}{\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}t)}[/tex]
Kako [tex]t\to 0[/tex], dobili smo limes
[tex]e^{\lim_{t\to 0}t/\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}t)}=e^{2/\pi}[/tex]
[/quote]

a taj stari pojma nemam
AltairAC (napisa):
Hvala svima na brzim odgovorima!

Zadnja 2 pitanja od mene tj. molba za hint:

4.b)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-pop.pdf

Mislio sam da bi se zbog arctg-a to isto dalo ocijenit, ali ne znam što bi u tom slučaju sa Arsh-om.

i ovogodišnji 2. kolokvij

8. stranica, 4.b) tj. druga grupa
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1213-kol2.pdf


evo ti od ove godine (iako, lakse bi bilo pohvatat da je skroz raspisano od supstitucije nadalje, ukljucujuci supstituciju)

vjekovac (napisa):
dodgin_lions (napisa):
4.b) sam u međuvremenu saznala kako se rješava. Ako kome bude trebalo, evo hint: uzme se supstitucija arc tg x = y - pi/2, iz toga se izvuče x, upotrijebi formula za oblik 1^besk. i to je to...


Evo, napisat cu ovdje rjesenje:
Odmah se vidi da je [tex]\lim_{x\to-\infty}(-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x)^{x}[/tex] limes oblika [tex]1^\infty[/tex].
Isto vrijedi i za drugu grupu, nakon sto se korijen zapise kao potencija.
Nakon primjene standardne formule za racunanje limesa tog oblika:
[tex]e^{\lim_{x\to-\infty}x(-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x-1)}[/tex]
Sada se supstituira [tex]t=-\frac{2}{\pi}\mathrm{arctg}x-1[/tex], tj.
[tex]x=\mathrm{tg}(-\frac{\pi}{2}(t+1))=\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2}t)=\frac{1}{\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}t)}[/tex]
Kako [tex]t\to 0[/tex], dobili smo limes
[tex]e^{\lim_{t\to 0}t/\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}t)}=e^{2/\pi}[/tex]


a taj stari pojma nemam


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
zaruljica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 09. 2011. (13:15:25)
Postovi: (41)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
7 = 9 - 2
Lokacija: Split/Zagreb
PostPostano: 0:12 pon, 21. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
koliko je lim(x->0) (arctgx)/x ??? pretpostavljam da je 1, samo ne znam kako dokazat :/
koliko je lim(x->0) (arctgx)/x ??? pretpostavljam da je 1, samo ne znam kako dokazat Ehm?



_________________
[tex] e ^ {i \pi} + 1 = 0 [/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
AltairAC
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 31. 05. 2012. (11:38:58)
Postovi: (E)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
1 = 1 - 0
PostPostano: 0:24 pon, 21. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Silenoz"]

evo ti od ove godine (iako, lakse bi bilo pohvatat da je skroz raspisano od supstitucije nadalje, ukljucujuci supstituciju)
[/quote]

Sveo sam to na [tex]\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{t}{tg(-\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{4}) + 1} [/tex]

Ali pojma nemam kako da iz toga izvučem -2/pi , pokušao sam raspisati pomoću sinusa i kosinusa, no čini mi se da nije baš tako zamišljen taj zadatak...

Ugl. sretno svima danas!
Silenoz (napisa):


evo ti od ove godine (iako, lakse bi bilo pohvatat da je skroz raspisano od supstitucije nadalje, ukljucujuci supstituciju)


Sveo sam to na [tex]\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{t}{tg(-\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{4}) + 1} [/tex]

Ali pojma nemam kako da iz toga izvučem -2/pi , pokušao sam raspisati pomoću sinusa i kosinusa, no čini mi se da nije baš tako zamišljen taj zadatak...

Ugl. sretno svima danas!


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na Prethodno  1, 2
Stranica 2 / 2.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan