razni dokazi (objasnjenje gradiva)

[Gost]

1. kako pokazati da je konveksna i konkavna fja linearna? u definiciji konveksnosti (i konkavnosti) zbroj skalara je 1, a za linearnost nam trebaju opceniti.

2. zadatak ispod 1. leme, pise da za v koji nije iz [x,y] treba pokazati da je Pv iznad PxPy. to opcenito nije tako, cini se da je zadatak nepotpun.

3.prop.: fja f:R→R je konveksna akko za svaki x,y iz R fja nagiba
(f(x+t(y-x))-f(x))/t, t>=0 rastuca. zanima me obrat, koristimo ekvivalentnost (1)⇔(2) iz prethodne leme, ali kako se tocno vidi da je f konveksna?

4. primjer iza prethodne propozicije: je li f(x)=sqrt(1-x^2) ili sqrt(1+x^2)? meni pise -, a poslije toga L(fi)=integral(sqrt(1+fi'^2)), a morao bi ici -.

[Mr.Doe]

1. Nije, ali afine fije jesu takve . Meni se cini da bilo lakse pokazati da su afine fije, jedine takve, neovisno o koeficijentima tj. , sto ide direktnim raspisivanjem.
2. Jest,ako je fija (strogo) konveksna,sto bi trebalo biti u uvjetima zadatka.
3. Koristis konveksnost epigrafa i ekvivalenciju sa konveksnim fijama,
4. Treba biti

[Gost]

mozes li raspisati 1.?

[Mr.Doe]

Promatraj i njegov komplement, dakle particija , i oni su oba konveksni. Sada je lagano pokazati da ih dijeli pravac. Ukoliko, krivulja koja bi ih dijeli ne bi bila pravac, tada ili ne bi bili konveksni , tj. taj graf fije koja opisuje bi bila npr. konveksna, no graf fije koja opisuje , a ona je ,ocito nije konveksna. Analogno i drugi slucaj. Cak mozes uciti da je ta f-ija cije je graf,ta krivulja, ocito neprekidna , pa onda mozes jos lakse dobiti geometrijsko objasnjenje (sto ovo moje zapravo,jest ).

Ja sam promatrao , lagano po-opcis na (zato sam govorio o geo. interpretaciji ).

Edit: u prvom dijelu kada govorim o krivulji, mislim na graf fije i o konveksnosti fije, a ne samom grafu fije, tj. krivlji. Nadam se da ne smeta.

[Gost]

kuzim ideju, ali ovaj detalj mi je nejasan

[Mr.Doe]

Hvala sto ste me upozorili, tek sam sada uocio koliko sam bio nejasan. Dakle, mislio sam na to da (skupovno !!). Pa onda ponovno ista prica, promatrati njihovu konveksnost i svesti na kontradikciju.
Ukoliko i dalje nije jasno samo recite.

[Gost]

[Mr.Doe]

Zaboravi na to, vidim da ne kužiš šta želim reći, samo promatraj epigraf i njegov komplement.

[Gost]

U dokazu propozicije:
" Ako je C kompaktan, onda je ExtC neprazan skup"

-gledamo najudaljeniju točku od ishodišta i tvrdimo da je ekstremna, te dobijemo kontradikciju.
Kako smo time dokazali propoziciju?

[Meri]

Evo, imam i ja neka pitanja:
1.) Za C konveksan, zatvoren i takav da sadrzi 0 vrijedi da je (izmedu ostalog) funkcional Minkowskog gamma_C poluneprekidan odozdo.

2.) U dokazu Lipschitzovosti konveksne funkcije na kompaktu S, uzmemo x_0 iz S (S je podskup od Int(domene funckije f)) te oznacimo sa delta=conv{v_0,...,v_n}, gdje je n dimenzija prostora. Sada kazemo da je x_0 iz interiora od delta jer je x_0 iz Int(domene funkcije f) pa mozemo opisati otvorenu kuglu tako da je taj simpleks sadrzan u toj kugli. Zna netko kak to mozemo?

_________________
Laganini...i stprljivo....

[india]

moze pomoc..
kako se dokaze slijedece ili barem hint:

G={d iz R^n: d razlicit od 0, Ad<0}
G'={d iz R^n: Ad<=0}

A je matrica ciji su reci gradijenti od g, g:R^n -->R, dfb u x za i iz I, nepr. u x za i ne iz I. a I je skup aktivnih uvjeta..

tvrdnja: ako je G neprazan tada je cl G=G'

e sad.. cl G je uvijek sadrzan u G', kako dokazemo obrat?!?! jel to ima kakve veze s gordanovom lemom...?