Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - Usmeni kod doc. Caklovica

1. Teorem dualnosti u sparivanju
2. Euler-Lagrangeova jednadžba
3. Normalna jednadžba. Pravac regresije.

[quote]Hamiltonov princip, u koju kategoriju spada to pitanje, pod tesko ili lako pitanje??[/quote]
U ovogodišnjim predavanjima Hamiltonov princip je jedna jedina rečenica, ali se veže uz Euler-Lagrangeovu jednadžbu.

Evo da se službeno riješi misterij oko EL jednadžbe, to bi trebalo ići otprilike ovako:

Pretpostavimo da je položaj sistema opisan s r slobodnih koordinata
[latex]q=(q_1,\dots,q_r), \Phi (q) \in \mathbb{R}^{3N}[/latex] gdje je broj čestica (točaka) tog sistema.
Pretpostavimo da se sistem giba u polju sila F koje je konzervativno.
Potencijalnu energiju sistema označavamo s U(q).
Tražimo trajektorij (gibanje) [latex]t \mapsto q(t), \quad t \geq 0[/latex], t vrijeme.
Kako karakterizirati stvarnu putanju [latex]\gamma (t)[/latex] od svih mogućih ?
[latex]
t \mapsto q(t), \quad 0 \leq t < T \\
q(0)=A \quad q(T)=B \\
U(q(t)) \quad \textrm{potencijalna energija u trenutku t} \\
T(q(t), \dot{q}(t)) \quad \textrm{kineti\v{c}ka energija u trenutku t} \\
L(q,\dot{q})=T(q, \dot{q}) - U(q) \quad \textrm{Lagrangeova funkcija sistema}
[/latex]

[latex]
J(\gamma)=\int_0^T L(\gamma (t),\dot{\gamma} (t))dt
[/latex]
gdje je [latex]\gamma (t)[/latex] neka krivulja u U (područje karte U).

Stvarna krivulja je ona gdje [latex]J(\gamma (t))[/latex] poprima minimum.

Hamiltonov princip:
Od svih krivulja [latex]t \mapsto \gamma (t), \gamma (0)=A, \gamma (T)=B[/latex] stvarno gibanje sistema minimizira funkciju djelovanja [latex]J(\gamma)[/latex].

Teorem
Gibanje sistema [latex]t \mapsto \gamma (t)[/latex] je rješenje sistema diferencijalnih jednadžbi
[latex]
(1) \quad \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L( q , \dot{q} )}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L(q,\dot{q} ) }{\partial q_i} = 0, \quad i=1,\dots,r
[/latex]
(1) nazivamo Euler-Lagrangeovom jednadžbom.

Ako [latex]\gamma (t)[/latex] minimizira [latex]J(\gamma)[/latex], onda vrijedi (1).

Neka je [latex]\gamma[/latex] točka minimuma od [latex]J(\gamma)[/latex]. To znači da za svaku krivulju [latex]\gamma + \lambda \varphi, \quad \lambda \in \mathbb{R}, \varphi \in C_0^{\infty} (0,T), \varphi (0)=\varphi (T)=0[/latex] vrijedi:
[latex]J(\gamma + \lambda \varphi) \geq J(\gamma) \\
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\lambda}\left( J(\gamma + \lambda \varphi) - J(\gamma) \right) \geq 0
[/latex]

[latex]
0 \leq \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\lambda}\left( \int_0^T( L (\gamma + \lambda \varphi, \dot{\gamma} + \lambda \dot{\varphi}) - L( \gamma, \dot{\gamma}))dt \right)[/latex]

[latex]
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\lambda} \textrm{ se ubaci pod integral i dobije se: }
[/latex]
[latex]
0=\int_0^T \left( \frac{\partial L(\gamma (t), \dot{\gamma} (t))}{\partial q} \varphi(t) + \frac{\partial L(\gamma(t), \dot{\gamma} (t))}{\partial \dot {q}} \dot{\varphi} (t)\right)dt
[/latex]

To se sada parcijalno integrira, iskoristi se osnovna lema varijacionog računa i dobije se (1).
:D

	Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Matematičko modeliranje	Vremenska zona: GMT + 01:00. Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4
Stranica 4 / 4.

Search
Engleski Open in this window (click to change)