monotonost - jednostavno pitanje (objasnjenje gradiva)

[ekatarina]

U izrazu x1 < x2 slijedi li implikacija ili ekvivalencija prema f(x1) < f(x2). Nailazim i na jedan i na drugi zapis, češće na implikaciju, a dokazi redovito kreću tako da se do kontradikcije dovodi negacija obrnute inkluzije.
dakle, negirano da f(x1) < f(x2) povlači x1 < x2 i tu se dođe do kontradikcije što bi značilo da taj obrat zapravo vrijedi...
zbunjujuće... molim one kojima to nije nimalo zbunjujuće da pomognu.

[Atomised]

(x1 < x2) --> (f(x1) < f(x2)) (1)

je isto što i...

ne((f(x1 < f(x2)) --> ne(x1 < x2) (obrat po kontrapoziciji) (2)

Negacija (2) glasi... ne(f(x1) < f(x2)) i (x1 < x2) (3)

Negacija (1) glasi... (x1 < x2) i ne(f(x1) < f(x2)) (4)

Prema tome, ti možeš:

1. Direktno dokazati (1)
2. Direktno dokazati (2), što je ekvivalentno s (1)
3. Pretpostaviti (3) pa doći do kontradikcije, što znači da (2) i (1) vrijede
4. Pretpostaviti (4) pa doći do kontradikcije, što znači da (1) i (2) vrijede

Nisam siguran da sam te dobro shvatio pa sam zato ovako opširno to napisao...

S druge strane, ako se stvarno baš pretpostavlja negacija obrnutog smjera (f(x1) < f(x2) i ne(x1<x2)) i dolazi do kontradikcije, onda to dokazuje obrnuti smjer a ne ovaj, što je korisno ako u (1) umjesto implikacije imaš ekvivalenciju pa to ideš dokazivati...

[ekatarina]

Slažem se sa svim tvrdnjama, samo mi se čini da izraz (3) glasi
f(x1) > (uzima li se ovdje i = ??) f(x2) povlači x1 < x2

Dobro si shvatio dokaz o kojem pričam, i da on je koristan i dokazuje ekvivalenciju u početnom izrazu, i zato pitam je li tamo ekvivalencija ili implikacija??
Ako je implikacija zašto općenito za monotonost ne vrijedi :
f(x1) < f(x2) povlači x1 < x2

[Atomised]

[ekatarina]

e hvala, to je valjda to, ekvivalencija, jer se i meni to čini logično, a posvuda su (vježbe, predavanja, materijali..) implikacije...
Nego, imam novi zadačić, a čini mi se rasipnim za svaki otvarati novu temu, pa evo, premda nema veze s monotonošću, ovdje...
Treba dokazati da je f(x) = cos( n arc cos x) jednaka restrikciji nekog polinoma na [-1, 1], to je dakle domena. Valjda sam ga barem dobro prepisala...

[Atomised]

Ma mislim (nisam siguran) da je nama Guljaš čak rekao da bi mogla ići i ekvivalencija, ali da to nije bitno...

A ovaj zadatak ne znam, to ostavljam drugima.