Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

teorem - l'hospitalovo pravilo (objasnjenje gradiva)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
PopStevo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 08. 2007. (12:40:28)
Postovi: (42)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
9 = 13 - 4
PostPostano: 23:31 čet, 17. 4. 2008    Naslov: teorem - l'hospitalovo pravilo Citirajte i odgovorite
pozdrav. htio bih nešto pitati u vezi s teoremom 4.17. iz skripte prof. guljaša. radi se o izrijeku i dokazu l'hospitalovog pravila. krenuo sam ga skuživati i primijetio sam da mi odmah u početku smeta nekoliko stvari.
(1) pretpostavka teorema je da f i g nisu definirane u c. to bi značilo da te funkcije nisu diferencijabilne u toj točki. ali, dokaz pravila koristi taylorov teorem srednje vrijednosti koji, štoviše, zahtijeva višestruku derivabilnost na cijelom intervalu pa i u c, kako bi bilo moguće uopće definirati taylorov polinom.
(2) i odmah ovdje mi je i druga nejasnoća u pretpostavci, odnosno, dokazu l'h-pravila: nigdje nije zahtijevano postojanje (n+1)-e derivacije, u ovom slučaju 2. derivacije funkcije f, odnosno, g koju zahtijeva taylorov teorem srednje vrijednosti.
može li mi netko reći što mi promiče u ovom teoremu da mi tako loše sjeda?
hvala
pozdrav. htio bih nešto pitati u vezi s teoremom 4.17. iz skripte prof. guljaša. radi se o izrijeku i dokazu l'hospitalovog pravila. krenuo sam ga skuživati i primijetio sam da mi odmah u početku smeta nekoliko stvari.
(1) pretpostavka teorema je da f i g nisu definirane u c. to bi značilo da te funkcije nisu diferencijabilne u toj točki. ali, dokaz pravila koristi taylorov teorem srednje vrijednosti koji, štoviše, zahtijeva višestruku derivabilnost na cijelom intervalu pa i u c, kako bi bilo moguće uopće definirati taylorov polinom.
(2) i odmah ovdje mi je i druga nejasnoća u pretpostavci, odnosno, dokazu l'h-pravila: nigdje nije zahtijevano postojanje (n+1)-e derivacije, u ovom slučaju 2. derivacije funkcije f, odnosno, g koju zahtijeva taylorov teorem srednje vrijednosti.
može li mi netko reći što mi promiče u ovom teoremu da mi tako loše sjeda?
hvala


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
PopStevo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 08. 2007. (12:40:28)
Postovi: (42)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
9 = 13 - 4
PostPostano: 23:58 čet, 17. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
(3) to što je [latex]g'(x)\neq 0, \forall x\in I\setminus {c}[/latex] ne mora značiti da je limes nazivnika [latex]\lim\limits_{x\to c}g'(x)=g'(c)\neq 0[/latex] pa mi ni posljednji korak dokaza nije jasan...
(4) napomena koja odmah iza slijedi djeluje kao da također treba tražiti jednu derivaciju funkcija više...
(3) to što je ne mora značiti da je limes nazivnika pa mi ni posljednji korak dokaza nije jasan...
(4) napomena koja odmah iza slijedi djeluje kao da također treba tražiti jednu derivaciju funkcija više...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31
PostPostano: 0:02 pet, 18. 4. 2008    Naslov: Re: teorem - l'hospitalovo pravilo Citirajte i odgovorite
[quote="PopStevo"]
(1) pretpostavka teorema je da f i g nisu definirane u c. to bi značilo da te funkcije nisu diferencijabilne u toj točki. ali, dokaz pravila koristi taylorov teorem srednje vrijednosti koji, štoviše, zahtijeva višestruku derivabilnost na cijelom intervalu pa i u c, kako bi bilo moguće uopće definirati taylorov polinom.[/quote]
Odmah na početku dokaza se komentira kako se dokaz provodi uz jače pretpostavke, tj. da fje. f i g imaju neprekidne derivacije na cijelom I i da je f(c)=g(c)=0 i g'(c)!=0.
PopStevo (napisa):

(1) pretpostavka teorema je da f i g nisu definirane u c. to bi značilo da te funkcije nisu diferencijabilne u toj točki. ali, dokaz pravila koristi taylorov teorem srednje vrijednosti koji, štoviše, zahtijeva višestruku derivabilnost na cijelom intervalu pa i u c, kako bi bilo moguće uopće definirati taylorov polinom.

Odmah na početku dokaza se komentira kako se dokaz provodi uz jače pretpostavke, tj. da fje. f i g imaju neprekidne derivacije na cijelom I i da je f(c)=g(c)=0 i g'(c)!=0.



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31
PostPostano: 0:11 pet, 18. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="PopStevo"](3) to što je [latex]g'(x)\neq 0, \forall x\in I\setminus {c}[/latex] ne mora značiti da je limes nazivnika [latex]\lim\limits_{x\to c}g'(x)=g'(c)\neq 0[/latex] pa mi ni posljednji korak dokaza nije jasan...
[/quote]
Nije mi baš jasno što želiš reći ovdje. Nazivnik je [latex]g'(c)-w_1(x)[/latex] pa je [latex]\lim\limits_{x\to c}(g'(c)-w_1(x))=g'(c)-\lim\limits_{x \to c} w_1 (x)=g'(c) \neq 0[/latex] jer je dodana pretpostavka da je [latex]g'(c) \neq 0[/latex].
PopStevo (napisa):
(3) to što je ne mora značiti da je limes nazivnika pa mi ni posljednji korak dokaza nije jasan...

Nije mi baš jasno što želiš reći ovdje. Nazivnik je pa je jer je dodana pretpostavka da je .



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
PopStevo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 08. 2007. (12:40:28)
Postovi: (42)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
9 = 13 - 4
PostPostano: 0:20 pet, 18. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="goranm"][quote="PopStevo"]
(1) pretpostavka teorema je da f i g nisu definirane u c. to bi značilo da te funkcije nisu diferencijabilne u toj točki. ali, dokaz pravila koristi taylorov teorem srednje vrijednosti koji, štoviše, zahtijeva višestruku derivabilnost na cijelom intervalu pa i u c, kako bi bilo moguće uopće definirati taylorov polinom.[/quote]
Odmah na početku dokaza se komentira kako se dokaz provodi uz jače pretpostavke, tj. da fje. f i g imaju neprekidne derivacije na cijelom I i da je f(c)=g(c)=0 i g'(c)!=0.[/quote]

ali, nije li dodatno potrebno da su i drugi put diferencijabilne, ne samo da imaju neprekidne prve derivacije (da bi se mogao primijeniti taylorov teorem srvr)?

[quote="goranm"][quote="PopStevo"](3) to što je [latex]g'(x)\neq 0, \forall x\in I\setminus {c}[/latex] ne mora značiti da je limes nazivnika [latex]\lim\limits_{x\to c}g'(x)=g'(c)\neq 0[/latex] pa mi ni posljednji korak dokaza nije jasan...
[/quote]
Nije mi baš jasno što želiš reći ovdje. Nazivnik je [latex]g'(c)-w_1(x)[/latex] pa je [latex]\lim\limits_{x\to c}(g'(c)-w_1(x))=g'(c)-\lim\limits_{x \to c} w_1 (x)=g'(c) \neq 0[/latex].[/quote]

ispričavam se, nisam u dokazu doživio izmjenu pretpostavke da je g'(c)!=0 :oops:

i ne bi li bilo elegantnije staviti pretpostavke u tvrdnju teorema?
goranm (napisa):
PopStevo (napisa):

(1) pretpostavka teorema je da f i g nisu definirane u c. to bi značilo da te funkcije nisu diferencijabilne u toj točki. ali, dokaz pravila koristi taylorov teorem srednje vrijednosti koji, štoviše, zahtijeva višestruku derivabilnost na cijelom intervalu pa i u c, kako bi bilo moguće uopće definirati taylorov polinom.

Odmah na početku dokaza se komentira kako se dokaz provodi uz jače pretpostavke, tj. da fje. f i g imaju neprekidne derivacije na cijelom I i da je f(c)=g(c)=0 i g'(c)!=0.


ali, nije li dodatno potrebno da su i drugi put diferencijabilne, ne samo da imaju neprekidne prve derivacije (da bi se mogao primijeniti taylorov teorem srvr)?

goranm (napisa):
PopStevo (napisa):
(3) to što je ne mora značiti da je limes nazivnika pa mi ni posljednji korak dokaza nije jasan...

Nije mi baš jasno što želiš reći ovdje. Nazivnik je pa je .


ispričavam se, nisam u dokazu doživio izmjenu pretpostavke da je g'(c)!=0 Embarassed

i ne bi li bilo elegantnije staviti pretpostavke u tvrdnju teorema?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31
PostPostano: 2:00 pet, 18. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="PopStevo"]ali, nije li dodatno potrebno da su i drugi put diferencijabilne, ne samo da imaju neprekidne prve derivacije (da bi se mogao primijeniti taylorov teorem srvr)?[/quote]
Trenutno niti ja ne vidim da je to dovoljno. S obzirom da se koristi Taylorov teorem umjesto Cauchyevog, trebale bi biti i drugi put diferencijabilne. A s obzirom da se koristi i napomena 4.1, druge derivacije bi trebale biti i lokalno ograničene oko c. Da je rečeno da su druge derivacije neprekidne, onda bi se mogao iskoristiti i Taylorov teorem i napomena 4.1 jer je neprekidna funkcija u c i lokalno ograničena u c.

Cauchyev teorem srednje vrijednosti (mislim da je u skripti nazvan Lagrangeovim) daje puno jednostavniji dokaz, no ne znam da li su ekvivalentni.
PopStevo (napisa):
ali, nije li dodatno potrebno da su i drugi put diferencijabilne, ne samo da imaju neprekidne prve derivacije (da bi se mogao primijeniti taylorov teorem srvr)?

Trenutno niti ja ne vidim da je to dovoljno. S obzirom da se koristi Taylorov teorem umjesto Cauchyevog, trebale bi biti i drugi put diferencijabilne. A s obzirom da se koristi i napomena 4.1, druge derivacije bi trebale biti i lokalno ograničene oko c. Da je rečeno da su druge derivacije neprekidne, onda bi se mogao iskoristiti i Taylorov teorem i napomena 4.1 jer je neprekidna funkcija u c i lokalno ograničena u c.

Cauchyev teorem srednje vrijednosti (mislim da je u skripti nazvan Lagrangeovim) daje puno jednostavniji dokaz, no ne znam da li su ekvivalentni.



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
PopStevo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 08. 2007. (12:40:28)
Postovi: (42)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
9 = 13 - 4
PostPostano: 14:23 sub, 19. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
velika hvala! ali, mogu li još nešto sada pitati? ponovno uz l'hospitalovo pravilo. ovaj put vezano uz dokaz cauchyjevim teoremom srvr.
u zadatcima za vježbu (106. zadatak) ga treba dokazati. trebao bih pomoć jer bez pretpostavke da mora [latex](\exists \delta '_{g}>0)(\forall x \in I)[(0<|x-c|<\delta '_{g})\Rightarrow (g(x)\not= 0)][/latex] ne mogu dokazati što se traži. ta mi pretpostavka treba da bi funkcija [latex]\frac{f}{g}[/latex] bila lokalno oko c definirana na nekom cijelom intervalu pa da bi o njenom limesu uopće bilo govora. to ne znam dobiti iz pretpostavki... s ostatkom dokaza nemam problema, samo ne znam što bih s ovim.

Zadatak je: Neka je [latex]I\subseteq\mathbb{R}[/latex] otvoren interval i [latex]c\in I[/latex]. Neka su f i g realne funkcije diferencijabilne na I td je [latex]\lim\limits_{x\to c}f(x)=0=\lim\limits_{x\to c}g(x)[/latex] i da postoji limes [latex]\lim\limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/latex]. Tada postoji [latex]\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex] i vrijedi [latex]\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/latex].
velika hvala! ali, mogu li još nešto sada pitati? ponovno uz l'hospitalovo pravilo. ovaj put vezano uz dokaz cauchyjevim teoremom srvr.
u zadatcima za vježbu (106. zadatak) ga treba dokazati. trebao bih pomoć jer bez pretpostavke da mora ne mogu dokazati što se traži. ta mi pretpostavka treba da bi funkcija bila lokalno oko c definirana na nekom cijelom intervalu pa da bi o njenom limesu uopće bilo govora. to ne znam dobiti iz pretpostavki... s ostatkom dokaza nemam problema, samo ne znam što bih s ovim.

Zadatak je: Neka je otvoren interval i . Neka su f i g realne funkcije diferencijabilne na I td je i da postoji limes . Tada postoji i vrijedi .


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
amimica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 04. 2004. (15:40:42)
Postovi: (CA)16
Sarma = la pohva - posuda
211 = 217 - 6
PostPostano: 18:32 sub, 19. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
Pogledajte zadatke 1.104 i 1.106 u [url]http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_6.pdf[/url]. Tu se L'Hospitalovo pravilo moze pokazati uz slabije pretpostavke.
Pogledajte zadatke 1.104 i 1.106 u http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_6.pdf. Tu se L'Hospitalovo pravilo moze pokazati uz slabije pretpostavke.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
PopStevo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 08. 2007. (12:40:28)
Postovi: (42)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
9 = 13 - 4
PostPostano: 20:11 sub, 19. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
baš za taj zadatak i pitam. pokušao sam dokazati i ne znam kako osigurati da funkcija [latex]\frac{f}{g}[/latex] bude lokalno definirana oko c... ili se cauchyjeva definicija limesa može uporabiti i u slučaju da u svakom intervalu oko c funkcija ima barem jednu točku gdje nije definirana?
baš za taj zadatak i pitam. pokušao sam dokazati i ne znam kako osigurati da funkcija bude lokalno definirana oko c... ili se cauchyjeva definicija limesa može uporabiti i u slučaju da u svakom intervalu oko c funkcija ima barem jednu točku gdje nije definirana?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
amimica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 04. 2004. (15:40:42)
Postovi: (CA)16
Sarma = la pohva - posuda
211 = 217 - 6
PostPostano: 23:25 ned, 20. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
Ipak treba dodati pretpostavku da je g'(x) različito od 0 u nekoj okolini točke c.
Ipak treba dodati pretpostavku da je g'(x) različito od 0 u nekoj okolini točke c.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
PopStevo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 08. 2007. (12:40:28)
Postovi: (42)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
9 = 13 - 4
PostPostano: 6:15 pon, 21. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
g' ili g?
g' je sigurno različit od 0 u nekoj okolini jer postoji limes f'/g'
hvala!
g' ili g?
g' je sigurno različit od 0 u nekoj okolini jer postoji limes f'/g'
hvala!


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
amimica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 04. 2004. (15:40:42)
Postovi: (CA)16
Sarma = la pohva - posuda
211 = 217 - 6
PostPostano: 10:27 pon, 21. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
Mislim da je dovoljno da je g' ralicit od 0 u nekoj okolini, jer se tada moze dobiti i da je g razlicit od 0 u toj okolini: ako bi postojao x iz te okoline t.d. je g(x)=0, onda bi iz Rolleovog teorema (jer je g(x)=g(c)=0) slijedilo da postoji y izmedju c i x takav da je g'(y)=0, sto nije moguce.
Mislim da je dovoljno da je g' ralicit od 0 u nekoj okolini, jer se tada moze dobiti i da je g razlicit od 0 u toj okolini: ako bi postojao x iz te okoline t.d. je g(x)=0, onda bi iz Rolleovog teorema (jer je g(x)=g(c)=0) slijedilo da postoji y izmedju c i x takav da je g'(y)=0, sto nije moguce.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
PopStevo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 08. 2007. (12:40:28)
Postovi: (42)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
9 = 13 - 4
PostPostano: 11:46 pon, 21. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
sjajno! velika hvala, to je ono što mi je falilo u dokazu
sjajno! velika hvala, to je ono što mi je falilo u dokazu


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan