| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
kištra
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 03. 2008. (18:44:16)
Postovi: (3)16
Spol: 
Lokacija: Garesnica
|
|
| [Vrh] |
|
kištra
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 03. 2008. (18:44:16)
Postovi: (3)16
Spol:
Lokacija: Garesnica
|
|
| [Vrh] |
|
Nesi
Inventar Foruma
(Moderator)
Pridružen/a: 14. 10. 2002. (14:27:35)
Postovi: (E68)16
Spol: 
Sarma: -
|
 Postano: 17:00 uto, 11. 3. 2008 Naslov: |
    |
|
|
formule koje ti trebaju su sinus i kosinus iz pravokutnog trokuta, sinus i kosinus razlike kuteva, i povrsina pravokutnog trokuta ;)
na slici je uistinu pravokutnik, samo sto podsjeca na kvadrat da to nije normalno ;) (duljine stranica se razlikuju za jako malo)
predlazem da gledas sliku i sam si rijesis, ove formule vjerujem da u 4tom razredu srednje zbilja znas :)
[latex]
\alpha &= \measuredangle BAE \\
x_1 &= a \sin \alpha \\
y &= a \cos \alpha \\
y_1 &= a \sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) \\
&= a \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) \\
x &= a \cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) \\
&= a \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha \right) \\
[/latex]
zelimo vidjeti jednakost povrsina, tj:
[latex]L := \frac{(x-x_1)(y-y_1)}{2} &\stackrel{?}{=} \frac{x_1y}{2} + \frac{xy_1}{2} =: D\\[/latex]
gledamo jednu stranu
[latex]2L &= (x-x_1)(y-y_1) \\
&= a \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha - \sin \alpha \right) a \left( \cos \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) \\
&= a^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \right) \left(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) \\
&= \cdots \\
&= a^2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ({\cos}^2 \alpha - {\sin}^2 \alpha) + \frac{1}{2} \cos \alpha \sin \alpha \right)[/latex]
pa drugu
[latex]
2D &= x_1y + xy_1 \\
&= a \sin \alpha \ a \cos \alpha + a \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) a \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha \right) \\
&= \cdots \\
&= a^2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ({\cos}^2 \alpha - {\sin}^2 \alpha) + \frac{1}{2} \cos \alpha \sin \alpha \right)[/latex]
:weee: jednako je :weee:
umjesto ovih tockica slijedi mnozenje zagrada i minijaturno grupiranje da se dobije zavrsni zapis ;)
formule koje ti trebaju su sinus i kosinus iz pravokutnog trokuta, sinus i kosinus razlike kuteva, i povrsina pravokutnog trokuta 
na slici je uistinu pravokutnik, samo sto podsjeca na kvadrat da to nije normalno (duljine stranica se razlikuju za jako malo)
predlazem da gledas sliku i sam si rijesis, ove formule vjerujem da u 4tom razredu srednje zbilja znas 
zelimo vidjeti jednakost povrsina, tj:
gledamo jednu stranu
pa drugu
 jednako je
umjesto ovih tockica slijedi mnozenje zagrada i minijaturno grupiranje da se dobije zavrsni zapis
| Description: |
|
| Filesize: |
20.21 KB |
| Viewed: |
204 Time(s) |
|
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
kištra
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 03. 2008. (18:44:16)
Postovi: (3)16
Spol:
Lokacija: Garesnica
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 7:17 sri, 12. 3. 2008 Naslov: |
|
|
|
...ali se može "spasiti", da se ipak riješi samo uz pomoć Pitagore i formula za površinu pravokutnika i kvadrata.
Dakle, neka je AB = a, BC = b, BE = x, CF = y.
Trebalo bi pokazati da je
(b-x)y = ax + b(a-y).
Odmah da najavim - pokazat će se da je
x = 2b - a sqrt(3),
y = b sqrt(3) - a
pa je onda lako provjeriti jednakost, s obje strane bit će
4ab - (a^2 + b^2)sqrt(3).
Iz pravokutnih trokuta imamo
a^2 + x^2 = (b-x)^2 + y^2 = b^2+(a-y)^2.
Odavde se lako izvuče: 2ay = a^2 - x^2 + 2bx
pa možemo izraziti y.
Dalje, površina pravokutnika jednaka je ab i to je jednako zbroju 3 pravokutna trokuta i jednakostraničnog trokuta sa stranicom c, za koju vrijedi
c^2 = a^2 + x^2. površina tog trokuta je c^2 sqrt(3)/4.
Kad se to izjednači i sredi, pa se uvrsti y kako je izražen otprije, dobiva se jednadžba po x koja je 3. stupnja, ali se lako faktorizira. Ukratko, dobije se
(a^2 + x^2) (x + a sqrt(3) - 2b) = 0.
Kako je prvi faktor pozitivan, drugi mora biti 0 i zato x = 2b - a sqrt(3),
što je i najavljeno, a ostalo je lako.
Simpatičan zadatak, u biti prolazi i u 7. razredu osnovne škole...
...ali se može "spasiti", da se ipak riješi samo uz pomoć Pitagore i formula za površinu pravokutnika i kvadrata.
Dakle, neka je AB = a, BC = b, BE = x, CF = y.
Trebalo bi pokazati da je
(b-x)y = ax + b(a-y).
Odmah da najavim - pokazat će se da je
x = 2b - a sqrt(3),
y = b sqrt(3) - a
pa je onda lako provjeriti jednakost, s obje strane bit će
4ab - (a^2 + b^2)sqrt(3).
Iz pravokutnih trokuta imamo
a^2 + x^2 = (b-x)^2 + y^2 = b^2+(a-y)^2.
Odavde se lako izvuče: 2ay = a^2 - x^2 + 2bx
pa možemo izraziti y.
Dalje, površina pravokutnika jednaka je ab i to je jednako zbroju 3 pravokutna trokuta i jednakostraničnog trokuta sa stranicom c, za koju vrijedi
c^2 = a^2 + x^2. površina tog trokuta je c^2 sqrt(3)/4.
Kad se to izjednači i sredi, pa se uvrsti y kako je izražen otprije, dobiva se jednadžba po x koja je 3. stupnja, ali se lako faktorizira. Ukratko, dobije se
(a^2 + x^2) (x + a sqrt(3) - 2b) = 0.
Kako je prvi faktor pozitivan, drugi mora biti 0 i zato x = 2b - a sqrt(3),
što je i najavljeno, a ostalo je lako.
Simpatičan zadatak, u biti prolazi i u 7. razredu osnovne škole...
|
|
| [Vrh] |
|
|
