Teoretski zadaci iz MA2

[Fizicarka]

Bila bih jako zahvalna ako bi mi netko znao rijesiti ovaj zadatak(nije nuzno od tocke do tocke,bar generalna ideja s pojasnjenjem), pretpostavljam da bi matematicarima to trebalo biti lagano....


f,g:[a,b]→ R su R-integrabilne funkcije. Odgovorite na pitanje i dokazite:

a) mora li tada funkcija f*g biti R-integrabilna?

b)mora li funkcija f/g biti R-integrabilna(g(x) razlicito od 0)?

prema dokazima teorema iz tog djela gradiva, pretpostavljam da se treba naci epsilon okolina takva da je S-s<epsilon,al ne vidim kak.

Ak negdje imate rijesenja toga, isprike,nisam se bas snasla na forumu...

[PopStevo]

ako nije kasno, imam odgovor na 2. pitanje. ne mora biti integrabilna.
protuprimjer: neka je
i neka je
f je konstantna pa je integrabilna, a g je različita od 0 na čitavoj domeni te je neprekidna na domeni osim u a gdje ima "prekid prve vrste" (neformalno) pa je zbog toga integrabilna.
funkcija f/g, pak, nije ograničena jer kako se x približava a zdesna, funkcija odlazi u pozitivnu beskonačnost (neograničenost se dokazuje tako da za E>0 po volji pronađeš x iz domene takav da je (f/g)(x)>E). R-integrabilnost je definirana za funkcije koje su ograničene na segmentu pa f/g nije R-integrabilna

[PopStevo]

i... uspio sam dokazati da je odgovor na prvo pitanje potvrdan, ali u dokazu ima dosta posla sa supremumima i infimumima. valjda se može naći ljepši i kraći dokaz. ovaj sam izveo samo iz gradiva što smo radili do sada na predavanjima