Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Broj 153 (zadatak)

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Ostalo - ozbiljno -> Čistilište
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
StateOfConsciousness
Forumaš s poteškoćama u pisanju
Forumaš s poteškoćama u pisanju


Pridružen/a: 22. 07. 2008. (16:08:24)
Postovi: (8A)16
Sarma = la pohva - posuda
-37 = 11 - 48

PostPostano: 11:45 pet, 3. 10. 2008    Naslov: Broj 153 Citirajte i odgovorite

Evo nešto veoma zanimljivo: Uzmite neki broj djeljiv sa 3. Nakon toga kubirate svaku od znamenki tog broja i tako dobivene kubove zbrojite i time formirate novi broj. Sada ponovite proces,tj.novodobivenom broju kubirate znamenke i zbrojite kubove da bi dobili novi broj itd...itd... Na kraju ćete, koji god broj da ste u početku uzeli(naravno,treba biti djeljiv sa 3), doći do broja 153, Evo konkretan primjer: uzmete 432(djeljiv je sa 3). Kada kubirate znamenke i zbrojite ih dobijete broj 4^3 + 3^3 + 2^3=99. To ponovite sa 99. Dobijete broj 9^3 + 9^3=1458. Pa opet ponovite postupak sa 1458 i dobijete 1^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3=702. Pa 7^3 + 0^3 + 2^3=351. Pa 3^3 + 5^3 + 1^3 = 153. Ono što je lijepo jest činjenica da ćete uvijek doći do 153 s kojimgod brojem djeljivim s 3 počnete, kako god da je velik. Sada bih volio da mi netko to i dokaže, tj. da će rezultat primijenjivanja date operacije na nekom broju djeljivom s 3 uvijek dovesti do broja 153. Ima li netko ideju?
Evo nešto veoma zanimljivo: Uzmite neki broj djeljiv sa 3. Nakon toga kubirate svaku od znamenki tog broja i tako dobivene kubove zbrojite i time formirate novi broj. Sada ponovite proces,tj.novodobivenom broju kubirate znamenke i zbrojite kubove da bi dobili novi broj itd...itd... Na kraju ćete, koji god broj da ste u početku uzeli(naravno,treba biti djeljiv sa 3), doći do broja 153, Evo konkretan primjer: uzmete 432(djeljiv je sa 3). Kada kubirate znamenke i zbrojite ih dobijete broj 4^3 + 3^3 + 2^3=99. To ponovite sa 99. Dobijete broj 9^3 + 9^3=1458. Pa opet ponovite postupak sa 1458 i dobijete 1^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3=702. Pa 7^3 + 0^3 + 2^3=351. Pa 3^3 + 5^3 + 1^3 = 153. Ono što je lijepo jest činjenica da ćete uvijek doći do 153 s kojimgod brojem djeljivim s 3 počnete, kako god da je velik. Sada bih volio da mi netko to i dokaže, tj. da će rezultat primijenjivanja date operacije na nekom broju djeljivom s 3 uvijek dovesti do broja 153. Ima li netko ideju?



_________________
Look at every path closely and deliberately. Try it as many times as you think necessary. Then ask yourself,
and yourself alone, one question . . . Does this path have a heart? If it does, the path is good; if it doesn’t it is of no use.
Carlos Castaneda, The Teachings of Don juan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void

PostPostano: 12:24 pet, 3. 10. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite

Evo nečeg sličnog:

Uzmite bilo koji broj i sumirajte kvadrate njegovih znamenki da dobijete novi broj. Ponavljanjem procesa dolazi se ili do broja 1, ili do broja 89. Ako se dođe do 89, daljnjim sumiranjem kvadrata znamenki se dobiva:

89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89

Ideje za istraživanje:[list]
[*] Dokazati ovo što sam napisao.
[*] Otkriti karakterizaciju broja iz koje je jasno hoće li se završiti u 1 ili 89.
[*] Vidjeti što se događa sa sumiranjem kubova znamenki u slučaju da broj nije djeljiv s 3.
[*] Vidjeti što se događa sa sumiranjem drugih potencija znamenki. Postoji li potencija i početni broj tako da se na opisani način generira niz brojeva bez ciklusa?
[*] Vidjeti što se događa kad je broj zapisan u drugim bazama.
[/list:u]Uživajte. :)
Evo nečeg sličnog:

Uzmite bilo koji broj i sumirajte kvadrate njegovih znamenki da dobijete novi broj. Ponavljanjem procesa dolazi se ili do broja 1, ili do broja 89. Ako se dođe do 89, daljnjim sumiranjem kvadrata znamenki se dobiva:

89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89

Ideje za istraživanje:

  • Dokazati ovo što sam napisao.
  • Otkriti karakterizaciju broja iz koje je jasno hoće li se završiti u 1 ili 89.
  • Vidjeti što se događa sa sumiranjem kubova znamenki u slučaju da broj nije djeljiv s 3.
  • Vidjeti što se događa sa sumiranjem drugih potencija znamenki. Postoji li potencija i početni broj tako da se na opisani način generira niz brojeva bez ciklusa?
  • Vidjeti što se događa kad je broj zapisan u drugim bazama.
Uživajte. Smile



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void

PostPostano: 0:03 sri, 8. 10. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite

Btw, baš čitam... Brojevi koji procesom sumiranja kvadrata znamenki završe u 1 zovu se veseli brojevi ([url=http://en.wikipedia.org/wiki/Happy_number]happy numbers[/url]). :D
Btw, baš čitam... Brojevi koji procesom sumiranja kvadrata znamenki završe u 1 zovu se veseli brojevi (happy numbers). Very Happy



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3560)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 2:38 sri, 8. 10. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da se vratimo na originalnu tvrdnju teorema (onu s brojem 153)...

Neka je zadan broj [latex]a = (a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0)[/latex] zapisan u dekadskoj bazi pomocu znamenaka [latex]a_i \in \{0, 1, \dots, 9\}[/latex]. Gledamo funkciju
[latex]S(a) = \sum_{i=0}^n a_i^3[/latex]

Za [latex]n \geq 4[/latex] je
[latex]S(a) = \sum_{i=0}^n a_i^3 \leq 9^3 (n+1) = 729(n+1) < 10^n \leq a[/latex]
Dakle, [latex]S(a) < a[/latex] za [latex]a \geq 10^4 = 10000[/latex], tj.
[latex]S(S(\dots{}S(a)\dots)) < 10^4[/latex]

Ostaje provjeriti tvrdnju za sve brojeve od 1 do 9999 koji su djeljivi s 3, sto je najlakse napraviti pomocu racunala:
[code:1]perl -e 'sub f{my$s=0;map{$s+=$_**3}split//,$_[0];return$s if$s==153;return f($s);}foreach(1..3333){$x=3*$_;print"$x ",f($x),"\n";}'[/code:1]

:D

Ovo Melkorovo bi islo na isti nacin (suma kvadrata znamenaka jos brze pada). :) Dodatna pitanja mi se sada ne da rjesavati; neka i drugi rade nesto. ;)
Da se vratimo na originalnu tvrdnju teorema (onu s brojem 153)...

Neka je zadan broj zapisan u dekadskoj bazi pomocu znamenaka . Gledamo funkciju


Za je

Dakle, za , tj.


Ostaje provjeriti tvrdnju za sve brojeve od 1 do 9999 koji su djeljivi s 3, sto je najlakse napraviti pomocu racunala:
Kod:
perl -e 'sub f{my$s=0;map{$s+=$_**3}split//,$_[0];return$s if$s==153;return f($s);}foreach(1..3333){$x=3*$_;print"$x ",f($x),"\n";}'


Very Happy

Ovo Melkorovo bi islo na isti nacin (suma kvadrata znamenaka jos brze pada). Smile Dodatna pitanja mi se sada ne da rjesavati; neka i drugi rade nesto. Wink



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Ostalo - ozbiljno -> Čistilište Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan